Đề bài
Trên tiếp tuyến của đường tròn [O; R] tại A, lấy điểm P sao cho \[AP = R\sqrt 3 \]
a. Tính các cạnh và các góc của PAO.
b. Kéo dài đường cao AH của PAO cắt đường tròn [O] tại B. Chứng tỏ PB là tiếp tuyến đường tròn [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Sử dụng:
+Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính
+Định lý Py-ta-go
+Nửa tam giác đều có 1 góc bằng 30 độ, 1 góc bằng 60 độ
b.Sử dụng:
+Trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác
+Hai tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
a. Ta có: AP là tiếp tuyến của đường tròn [O; R] nên \[AP OA.\]
Xét tam giác vuông PAO ta có:
\[OP = \sqrt {O{A^2} + P{A^2}} \]\[\;= \sqrt {{R^2} + {{\left[ {R\sqrt 3 } \right]}^2}} = 2R.\]
Dễ thấy \[PAO\] là nửa tam giác đều nên :
\[\widehat P = 30^\circ \] và \[\widehat O = 60^\circ \]
b. Ta có: BOA cân tại O [OA = OB = R] có đường cao OH đồng thời là đường phân giác \[ \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2}\]
Xét \[PBO\] và \[PAO\] có:
PO cạnh chung
\[{\widehat O_1} = {\widehat O_2}\] [cmt]
\[OB = OA [=R]\]
Vậy \[PBO = PAO\] [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {PBO} = \widehat {PAO} = 90^\circ \]
Hay PB là tiếp tuyến của [O]