Đường tròn ngoại tiếp là gì

Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].

II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tính chất:

• Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn ngoại tiếp.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền.
• Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Ví dụ:

△ABC trên nội tiếp đường tròn [O] có bán kính chính là OA = OB = OC.

△MNP vuông tại P trên nội tiếp đường tròn [O] có đường kính là cạnh huyền MN.

△EFG đều có đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp cùng tâm O.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho ΔABC cân tại A, nội tiếp Đường tròn [O], đường cao AH cắt [O] ở D. Vì sao AD là đường kính của [O]?

Lời giải tham khảo:

Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của  Δ ABC mà ΔABC cân ở A nên đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là đường kính

TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC - NHỮNG ĐIỀU CẦN NẮM RÕ

Bộ môn Toán 9 học sinh cần nắm được đường tròn, đặc biệt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cunghocvui.com hiểu được điều đó nên đã đưa ra tổng hợp những kiến thức bổ ích cho các em. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Công thức tính bán kính, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp...sẽ có trong bài viết.

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Có thể nói theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn. 

- Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB, vuông góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực AB đều có IA = IB. 

Ba đường trung trực tam giác đồng quy tại một điểm. Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực giam giác ABC thì ta có IA = IB = IC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

- Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn

2. Khái niệm và tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường gì?

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác [có thể là giao điểm hai đường trung trực]. 

- Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình đường trung trực hai cạnh bất kỳ tam giác. 

Bước 2: Tìm giao điểm hai đường trung trực, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

+ Cách 2: 

Bước 1: Gọi I [x, y] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R.

Bước 2: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình: \[\left\{\begin{matrix}IA^2 = IB^2 & \\ IA^2 = IC^2& \end{matrix}\right.\]

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC tại A nằm trên đường cao AH. 

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác.

3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Ngoài các công thức liên quan tới đường tròn, các em cần nắm được công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC. Độ dài các cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.

- Công thức cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

 \[R = \frac{a.b.c}{4S}\]

+ Công thức tính diện tích tam giác [áp dụng công thức herong]:

+ Nửa chu vi tam giác:

+ Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A: 

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc B:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp góc C:

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

R = \[\frac{a}{2sin60^{0}}\], trong đó a là độ dài mỗi cạnh.

Sau khi học xong lý thuyết, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập liên quan tới đường tròn.

Trên đây là toàn bộ nội dung về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, rất mong đem lại quý độc giả những thông tin bổ ích!

Định nghĩa

Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Ví dụ 1: Đường tròn tâm \[O\] trong các hình dưới đây được gọi là đường tròn ngoại tiếp vì nó đi qua tất cả các đỉnh của tam giác, tứ giác và ngũ giác.

Khi đó, \[\Delta ABC,\] tứ giác \[ABCD\] và ngũ giác \[ABCDE\] lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn \[[O]\] [tứ giác ở bên trong đường tròn].

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao của các đường trung trực của tất cả các cạnh.

Do đó, để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác, ta có thể làm như sau:

- Kẻ các đường trung trực của các cạnh rồi xác định giao điểm.

- Vẽ đường tròn có tâm là giao điểm các đường trung trực và bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến các đỉnh.

Như vậy, một đa giác có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Đường tròn nội tiếp

Đường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ 2: Đường tròn \[[O]\] trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả cạnh của đa giác.

Khi đó, \[\Delta ABC,\] tứ giác \[ABCD\] và ngũ giác \[ABCDE\] lần lượt được gọi là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn \[[O]\] [đa giác nằm bên ngoài đường tròn].

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác

Tâm đường tròn nội tiếp đa giác là giao của các đường phân giác của tất cả các góc trong đa giác.

Do đó để xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác, ta làm như sau:

- Kẻ các đường phân giác của các góc rồi xác định giao điểm \[[\]ví dụ giao điểm \[O].\]

- Kẻ đường thẳng đi qua giao điểm và vuông góc với một cạnh bất kỳ để xác định bán kính \[[\]ví dụ bán kính \[OI].\]

Như vậy, một đa giác có đường tròn nội tiếp nếu đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác.

Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Ngũ giác đều \[ABCDE\] có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp. Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều \[ABCDE\] trùng nhau, đều là tâm \[O.\]

Chú ý:

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.