Hàm bậc 3 có cực trị khi nào năm 2024
|
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp: Bước 1: Tính y' = 3ax 2 + 2bx + c, y' = 0 ⇔ 3ax 2 +2bx + c = 0 (1) Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔{ ⇔ giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*) Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận. Một số điều kiện thường gặp:-Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ { .-Để hàm số y =f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔y CĐ .y CT < 0-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ x CĐ .x CT <0-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔{-Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔{-Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔y CĐ. Y CT = 0-Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0 Gọi M 1 (x 1 ; y 1) và M 2 (x 2 ; y 2) là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số. Gọi t 1 và t 2 là các giá trị của M 1 và M 2 khi thay vào đường thẳng d: t 1 = Ax 1 + By 1 + C; t 2 = Ax 2 + By 2 + C. Đồ thị có 2 điểm cực đại cực tiểu ở hai phía của đường thẳng d: Show
Cực trị của hàm số là một trong những khái niệm được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các ngành sử dụng toán ứng dụng. Tuy nhiên, việc tìm ra cực trị của hàm số với phương pháp giải cụ thể thì không khó để xác định nhưng việc chỉ ra điều kiện để hàm số có cực trị tồn tại mới là trở ngại. 1. Một số vấn đề liên quan đến điều kiện để hàm số có cực trị1.1. Cực trị của hàm số∗ Cực đại của hàm số: Xét hàm số y = f(x) • Nếu ∃x0 ∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) > f(x) trên khoảng (a; b) Thì ta có: • x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số • f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số • M (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số ∗ Cực tiểu của hàm số: Xét hàm số y = f(x) • Nếu ∃x0 ∈ (a; b) sao cho ∀x ∈ (a; b) và x ≠ x0 ta luôn có f(x0) < f(x)trên khoảng (a; b) Thì ta có: • x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số • f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số • M (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 1.2. Mối liên hệ giữa f(x) và f ’(x)Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là số nghiệm đơn bội lẻ của hàm số y = f '(x) ( hay còn được biết đến là số lần đổi dấu của hàm số y = f '(x) ) Tại điểm cực trị, hàm số y = f '(x) có thể không xác định nhưng y = f(x) phải liên tục. 2. Điều kiện để hàm số có cực trị∗ Định lý: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì f '(x0) = 0. Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 có f '(x) = 3x2 - 6x . Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2. Khi đó ta có f '(2) = 0. Mở rộng: Nếu tồn tại một điểm x0 thỏa f ’(x0) không xác định nhưng f(x) liên tục tại x=x0 thì x=x0 là điểm cực trị của hàm số f(x). 2.1. Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 và x0 là điểm cực đạiXét hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b) ∗ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 khi: f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 Ta có f '(x) = 3x2 - 6x và f ''(x) = 6x - 6 Vì f '(0) = 0 và f ''(0) = -6 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số. 2.2. Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 và x0 là điểm cực tiểu∗ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 khi: f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 Ví dụ: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 Ta có f '(x) = 3x2 - 6x và f ''(x) = 6x - 6 Vì f '(2) = 0 và f ''(2) = 6 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số. 3. Bài tập tìm điều kiện để hàm số có cực trịBài 1: Hàm số y = x3 + 2ax2 + 4bx - 2018, (a,b ∈ R) đạt cực trị tại x = -1. Khi đó hiệu a - b là:
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x = x0 ⇒ f '(x0) = 0. ∗ Cách giải y = x3 + 2ax2 + 4bx - 2018, (a,b ∈ R) ⇒ y ' = 3x2 + 4ax + 4b Hàm số trên đạt cực trị tại x = -1 ⇒ 3(-1)2 + 4a.(-1) + 4b = 0 ⇔ 3 - 4a + 4b = 0 ⇔ 3 - 4(a - b) = 0 ⇔ a - b = → Chọn câu C Bài 2: Hàm số y = ax4 + bx2 + c đạt cực đại tại điểm A(0; -3) và đạt cực tiểu tại điểm B(-1; -5). Khi đó giá trị của a, b, c lần lượt là:
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Thay tọa độ điểm A, B vào hàm số đã cho và nhận xét các đáp án. ∗ Cách giải A(0; -3) thuộc đồ thị hàm số ⇒ c = -3 B(-1; -5) thuộc đồ thị hàm số ⇒ a + b - 3 = -5 ⇔ a + b = -2, ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn. → Chọn câu C. Bài 3: Hàm số y = x2 lnx đạt cực trị tại điểm
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Giải phương trình y ' = 0 ∗ Cách giải Tập xác định: D = (0; +∞) ⇒ x = là điểm cực tiểu của hàm số y = x2 lnx. → Chọn câu D. Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + 2x2 - mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi ∗ Cách giải Ta có: y ' = -3x2 + 4x - m, y '' = -6x + 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ( vô nghiệm) → Chọn câu C. Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Đồ thị hàm đa thức bậc ba có cực trị (tương đương với điều kiện có 2 điểm cực trị) ⇔ phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. ∗ Cách giải Tập xác định: D = R y = (m + 1)x3 - x2 + (2m + 1)x + 3 ⇒ y ' = (m + 1)x2 - 2x + 2m + 1 Đồ thị hàm số có cực trị (có 2 cực trị) khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt. ⇔ ⇔ ⇔ → Chọn câu C. Bài 6: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm f '(x) = x2 (x+1)(x2 + 2mx + 5). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(x) có đúng 1 điểm cực trị.
ĐÁP ÁN ∗ Phương pháp Dựa vào điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số. ∗ Cách giải Ta có: Vì f '(x) không đổi dấu qua nghiệm x = 0 nên hàm số không đạt cực trị tại x = 0 Do đó, hàm số y = f(x) có đúng một cực trị trong các trường hợp sau:
Khi đó Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên m cần tìm. → Chọn câu B. Chủ đề trên khái quát cho chúng ta về khái niệm cực trị, mối quan hệ giữa f ’(x) và f(x) trong vai trò xây dựng lên tính chất của cực trị, ngoài ra nội dung trọng tâm hướng đến là điều kiện để hàm số có cực trị tồn tại. Đây có thể được xem là công cụ giúp chúng ta xác định nhanh hơn trong việc kiểm tra cực đại cực tiểu trong các bài toán dạng trắc nghiệm. Phương trình bậc 3 có nghiệm khi nào?Nếu đạo hàm luôn lớn hơn 0 trên mỗi khoảng con, thì phương trình bậc 3 sẽ có nghiệm duy nhất. Nếu có ít hơn hoặc nhiều hơn một khoảng con mà đạo hàm lớn hơn 0, thì phương trình bậc 3 sẽ có nhiều hơn một nghiệm. Nếu không có khoảng nào mà đạo hàm lớn hơn 0, thì phương trình bậc 3 sẽ không có nghiệm. Hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị khi nào?Định nghĩa cực trị của hàm số bậc 4 +) Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y= f(x) có 3 cực trị ( gồm cả cực đại và cực tiểu ). Hàm số bậc 5 có bao nhiêu cực trị?Đồ thị của một đa thức bậc 5, với 3 nghiệm thực và 4 điểm cực trị. Điểm cực trị của hàm số là gì?Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. |
