Một số khái niệm cơ bản trong time series

Các thuật ngữ như tính dừng, bước ngẫu nhiên hoặc nghiệm đơn vị là những khái niệm cơ bản được sử dụng rất phổ biến khi đề cập đến các loại dữ liệu chuỗi thời gian. Ngoài ra, các khái niệm như toán tử trễ, ma trận đa thức trễ, nghiệm đặc trưng, hay định lí Wold thường được biết đến khi xây dựng hoặc mô tả các mô hình chuỗi thời gian. Làm quen với các thuật ngữ này sẽ giúp các bạn thuận lợi khi tiếp cận các mô hình chuỗi thời gian như VAR/VECM, SVAR, ARDL

1. Toán tử trễ [L]

L là toán tử trễ [lag operator]. Ví dụ:

\[\begin{array}{l}L{Y_t} = {Y_{t  1}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{L^{  1}}{Y_t} = {Y_{t + 1}}}\end{array}\\L\left[ {L{Y_t}} \right] = {L^2}{Y_t} = {Y_{t  2}}\end{array}\]

hoặc tổng quát là: \[{L^k}{Y_t} = {Y_{t  k}}\]

Toán tử trễ cũng có các tính chất như giao hoán [commutative], phân phối [distributive] và kết hợp [associative]

\[\begin{array}{l}\left[ {{L^1} + {L^2}} \right]{Y_t} = {Y_{t  1}} + {Y_{t  2}}\\\left[ {{L^1}{L^2}} \right]{Y_t} = {L^3}{Y_t} = {Y_{t  3}}\end{array}\]

Toán tử: \[\left[ {1  L} \right]{Y_t} = {Y_t}  {Y_{t  1}}\] được gọi là sai phân bậc 1

Và quan trọng hơn

\[{\left[ {1  L} \right]^{  1}}{Y_t} = \left[ {1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + {\theta _3}{L^3} + } \right]{Y_t} = \left[ \theta \right]L{Y_t}\] có |θ| < 1

2. Tính dừng của chuỗi

Một quá trình được gọi là dừng ngặt [strictly stationary] nếu phân phối xác suất của nó không độc lập theo thời gian. Nói cách khác, nếu chúng ta có 1 chuỗi thời gian được quan sát giữa 2 thời điểm t và T thì các kết hợp phân phối của những quan sát này phải giống nhau như các quan sát giữa 2 thời điểm t+k và T+k.

Tuy nhiên, đây chỉ là định nghĩa lý thuyết khó có thể áp dụng để kiểm tra tính dừng trong thực nghiệm. Trong thực nghiệm thời tính dừng của chuỗi được xét ở quan điểm nhẹ hơn, có thể dễ dàng thực hiện và kiểm tra, đó là khái niệm dừng hiệp phương sai [covariance stationary]. Một chuỗi xt được gọi là covariance stationary phải thỏa mãn các điều kiện sau:

• Có một giá trị trung bình xác định, \[E\left[ {{x_t}} \right] = \mu < \infty \], nghĩa là giá trị kì vọng phải độc lập theo thời gian, không có xu hướng.
• Có một giá trị phương sai xác định, \[Var\left[ {{x_t}} \right] = \sigma _x^2 < \infty \]
• Các giá trị hiệp phương sai chỉ phụ thuộc vào các quan sát khác nhau, k và độc lập theo thời gian: \[Cov\left[ {{x_t},{x_{t  s}}} \right] = Cov\left[ {{x_{t + k}},{x_{t  s + k}}} \right]\]

Khi đề cập đến tính dừng của chuỗi, Vietlod chỉ đề cập đến khái niệm dừng hiệp phương sai

3. Kiểm tra tính dừng

Xét một chuỗi dạng đa thức dạng \[\left[ \theta \right]L\]

Xét một quá trình tự hồi quy AR[p] của chuỗi yt như sau:

\[{y_t} = \left[ {1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} +  + {\theta _p}{L^p}} \right]{y_t} + {\varepsilon _t}\]: đây được gọi là 1 dạng đa thức chuẩn [standard polynomial form].

Hoặc được viết lại dưới dạng đa thức ngược [inverse polynomial form] như sau:\[\left[ {1  {\theta _1}L  {\theta _2}{L^2}    {\theta _p}{L^p}} \right]{y_t} = {\varepsilon _t}\]

Chuỗi yt này sẽ dừng nếu tất cả các nghiệm z của phương trình đặc trưng dạng đa thức ngược \[\left[ {1  {\theta _1}z  {\theta _2}{z^2}    {\theta _p}{z^p}} \right] = 0\]nằm ngoài vòng tròn đơn vị. Các nghiệm ở đây bao gồm cả nghiệm thực lẫn nghiệm phức [khi ấy so sánh module của nghiệm phức].

TÍNH DỪNG CỦA CHUỖI DẠNG ĐA THỨC NGƯỢC

Quy tắc trên chỉ đúng nếu chúng ta có dạng đa thức ngược. Nếu chúng ta giải nghiệm đặc trưng của dạng đa thức chuẩn thì các nghiệm này phải nằm trong vòng tròn đơn vị để quá trình được xét là dừng.

Ví dụ:

Xét quá trình AR[1] của \[{y_t} = 0.5{y_{t  1}} + {\varepsilon _t}\]

• Thì dạng đa thức ngược của quá trình là: \[\left[ {1  0.5L} \right]{y_t} = {\varepsilon _t}\]
• Và phương trình đặc trưng khi ấy là: 1  0.5z = 0
• Sẽ có nghiệm z = 2 > 1 nên chuỗi AR[1] này là dừng.

Hoặc xét 1 quá trình AR[2]: \[{y_t} = 0.4{y_{t  1}}  0.2{y_{t  2}} + {\varepsilon _t}\]

• Sẽ có dạng đa thức ngược là: \[\left[ {1  0.4L + 0.2{L^2}} \right]{y_t} = {\varepsilon _t}\]
• Có phương trình đặc trưng là: \[1  0.4z + 0.2{z^2} = 0\]
• Sẽ có 2 nghiệm phức là: \[{z_{1,2}} = 1 \pm 2i\] và đều có độ lớn là \[\sqrt 5 \] > 1 nên chuỗi AR[2] này dừng

4. Chuỗi không dừng và bước ngẫu nhiên

Chuỗi \[{y_t} = {y_{t  1}} + {\varepsilon _t}\] sẽ có dạng đa thức ngược là \[\left[ {1  L} \right]{y_t} = {\varepsilon _t}\] là không dừng vì phương trình đặc trưng của đa thức ngược 1  z = 0 có nghiệm z = 1 nằm trên vòng tròn đơn vị. Trường hợp này chúng ta gọi chuỗi có nghiệm đơn vị [unit-root].

Ghi chú: nếu các nghiệm đặc trưng của dạng đa thức ngược nằm trong vòng tròn đơn vị thì quá trình đó gọi là quá trình phân tán [explosive], nhưng trường hợp này không xảy ra trong các nghiên cứu khoa học xã hội nên chúng ta không cần quan tâm trường hợp này.

Quá trình \[{y_t} = {y_{t  1}} + {\varepsilon _t}\] với \[{\varepsilon _t} \sim iid\left[ {0,\sigma _\varepsilon ^2} \right]\] được gọi là một bước ngẫu nhiên [random walk]. Đây là một dạng mô hình cơ bản trong chuỗi thời gian. Ý nghĩa là sự thay đổi của một quá trình là hoàn toàn ngẫu nhiên vì \[\Delta {y_t} = {\varepsilon _t}\] với \[{\varepsilon _t} \sim iid\left[ {0,\sigma _\varepsilon ^2} \right]\] không có sự tự tương quan, vì vậy, nó không thể dự báo được.

Một dạng khác của bước ngẫu nhiên là bước ngẫu nhiên với hằng số [drift]

\[{y_t} = \alpha + {y_{t  1}} + {\varepsilon _t}\] với \[{\varepsilon _t} \sim iid\left[ {0,\sigma _\varepsilon ^2} \right]\] cũng là một chuỗi không dừng nhưng một thành phần xu thế [trend] với hệ số là α. Để hiểu rõ tại sao các chuỗi này là không dừng, chúng ta xét sự thay đổi của chuỗi theo giá trị ban đầu y0

\[\begin{array}{l}{y_0} = {y_0}\\{y_1} = {y_0} + {\varepsilon _1}\\{y_2} = {y_1} + {\varepsilon _2} = {y_0} + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}\\{y_3} = {y_2} + {\varepsilon _3} = {y_0} + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}\\{y_t} = {y_0} + \sum\limits_{i = 1}^t {{\varepsilon _i}} \end{array}\]

Chúng ta có thể thấy rằng sau t giai đoạn giá trị kì vọng của chuỗi chính là giá trị ban đầu của chuỗi \[E\left[ {{y_t}} \right] = {y_0}\], còn phương sai của chuỗi \[\sigma _y^2 = \sum\limits_{i = 1}^t {\sigma _{\varepsilon i}^2} \] [bằng tổng phương sai của các sai số trước và sai số hiện tại]. Nếu giả định các sai số có phương sai đồng nhất, nghĩa là cho tất cả các i thì \[\sigma _y^2 = t\sigma _\varepsilon ^2\], nghĩa là thay đổi theo thời gian và không có giá trị xác định: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \sigma _y^2 = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } t\sigma _\varepsilon ^2 = \infty \]

Nếu chúng ta có một bước ngẫu nhiên với drift thì

\[\begin{array}{l}{y_0} = {y_0}\\{y_1} = {y_0} + \alpha + {\varepsilon _1}\\{y_2} = {y_1} + \alpha + {\varepsilon _2} = {y_0} + \alpha + \alpha + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}\\{y_3} = {y_2} + \alpha + {\varepsilon _3} = {y_0} + \alpha + \alpha + \alpha + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}\\{y_t} = {y_0} + t\alpha + \sum\limits_{i = 1}^t {{\varepsilon _i}} \end{array}\]

Khi đó: \[E\left[ {{y_t}} \right] = {y_0} + t\alpha \] và \[\sigma _y^2 = t\sigma _\varepsilon ^2\]

ĐỊNH LÝ WOLD

• Các chuỗi không dừng còn được gọi là các chuỗi vi khả đảo [non-invertable]. Chuỗi có nghiệm đơn vị hoặc một quá trình có bước ngẫu nhiên là không khả đảo.
• Định lí Wold: các chuỗi dừng hiệp phương sai, yt, có thể được viết lại như là một quá trình trung bình trượt [MA] theo các sai số của nó. Điều này có nghĩa, tất cả các chuỗi dừng hiệp phương sai yt có thể được xem là một tổ hợp tuyến tính của các cú sốc [sai số] ngẫu nhiên xảy ra với nó.
• Toàn bộ phần trình bày trong chuyên đề dữ liệu chuỗi thời gian khi xét đến tính dừng, nghĩa là đang đề cập đến tính dừng hiệp phương sai.