Tóm tắt kiến thức môn toán lớp 11 năm 2024
|
Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1,2,3, 4,5là một dãy số hữu hạn có 5 số hạng và có số hạng đầu là u 1 =1,số hạng cuối Show
ứng với số hạng thứ năm là u 5 =5.• Dãy số vô hạn là dãy số mà ta biết được số hạng đầu và số hạng tổng quát được biểu diễn qua công thức.Ví dụ: Dãy số ( ) : 2 , *un un = n ∀n ∈ hay ta viết dưới dạng khai khai triển là ( ) : 1, 4,9,16,..., 2 ,...un n . Đây làdãy số vô hạn có số hạng đầu là u 1 = 1 và số hạng tổng quát =2 un n.• Dãy số thường được biểu diễn dưới 3 dạng sau:Dạng 1: Biểu diễn dưới dạng khai triển, ví dụ: ( ) 2 un : 1, 4,9,16,..., n,...Dạng 2: Biểu diễn dưới dạng công thức của số hạng tổng quát, ví dụ: ( ) 2 un : un = n , ∀n ∈ *.Dạng 3: Biểu diễn dưới dạng công thức truy hồi, ví dụ: Dãy Phi-bô-na-xi ( ) 1 2 1 2 1:.n n n n , 3u uuu u − u − n = = = + ∀ ≥Nói một cách khác, cho một dãy số bằng công thức truy hồi, tức là:Cho số hạng đầu và cho hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.
• Dãy số tăng là dãy số mà số hạng sau lớn hơn số hạng trước, tức là:( un )là dãy số tăng thì un + 1 > un , ∀n ∈ *. Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1, 4,9,16,.. ( ) 2 un : un = n , ∀n ∈ *là các dãy số tăng.• Dãy số giảm là dãy số mà số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước, tức là:( un )là dãy số giảm thì un + 1 < un , ∀n ∈ *. Ví dụ: Dãy số ( ) 1 1 1: 1, , , ,...4 9 16u n hay ( ) 2 1un : un , n *n\= ∀ ∈ là các dãy số giảm.• Có 2 cách chứng minh dãy số tăng – dãy số giảm như sau:Cách 1: Xét hiệu của biểu thức H = un + 1 −un.Nếu H > 0 thì dãy số ( un )là dãy số tăng. Nếu H < 0 thì dãy số ( un )là dãy số giảm. Cách 2: Xét thương của biểu thức n 1.n uTu\= +Nếu T > 1 thì dãy số ( un )là dãy số tăng. Nếu T < 1 thì dãy số ( un )là dãy số giảm. Chú ý. Nếu biết un thì tính un + 1 bằng cách thay n bằng n + 1 vào un.Ví dụ: Nếu un = n 2 + 2 nthì ( ) ( ) 2 un + 1 = n + 1 + 2 n + 1 = n + 4 n+3.
• Dãy số bị chặn trên là dãy số có số hạng tổng quát nhỏ hơn hoặc bằng một số, tức là:Nếu un ≤ M ,∀n thì dãy số ( un )bị chặn trên bởi số M. • Dãy số bị chặn dưới là dãy số có số hạng tổng quát lớn hơn hoặc bằng một số, tức là:Nếu un ≥ m, ∀n thì dãy số ( un )bị chặn dưới bởi số m. Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453 – Facebook: ThayCuongToanĐịa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 5[3]. lim ( n. n).. n u v L M→+∞ = [4]. lim (. n). ( ). n c u c L c const→+∞ \= =[5]. lim n ( 0 .) n n u LM→+∞ v M = ≠ [6]. lim n.n u L→+∞ \=[7]. lim 3 n 3.n u L→+∞ = [8]. lim n ( n 0, 0 .) n u L u n L→+∞ \= ≥ ∀ ⇒ ≥• Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn 1 , 1 ,..., 1 ,...n u u q u q có công bội q ( q < 1 )là: 1 1 1 2 ... 1. 1uS u u q u qq\= + + + =−1. Giới hạn của dãy số ....................................................................................................................................................• Các kết quả được thừa nhận của dãy số có giới hạn vô cực:[1]. lim lim k ( * .) n n n n k→+∞ →+∞ = +∞ ⇒ = +∞ ∈ [2]. lim lim k ( * .) n n n n k→+∞ →+∞ \= +∞ ⇒ = +∞ ∈ [3]. lim n ( 1 .) n q q→+∞ \= +∞ > [4].1lim n lim 0.n n n u→+∞ →+∞u\= +∞ ⇒ =• Các quy tắc tìm giới hạn vô cực:Quy tắc 1: Nếu lim nn u→+∞ \= ±∞ và lim nn v→+∞ = ±∞ thì lim ( n .n) n u v→+∞ được cho trong bảng sau:lim nn u→+∞ lim nn v→+∞ ( ) lim n .nn u v→+∞ +∞ +∞ +∞+∞ −∞ −∞−∞ +∞ −∞−∞ −∞ +∞Quy tắc 2: Nếu lim nn u→+∞ \= ±∞ và lim n 0n v L→+∞ = ≠ thì lim ( n .n) n u v→+∞ được cho bởi bảng sau:lim nn u→+∞ Dấu của Llim ( n .n) n u v→+∞ +∞ + +∞+∞ – −∞−∞ + −∞−∞ – +∞Quy tắc 3: Nếu lim n 0n u L→+∞ = ≠ và lim n 0 ( n 0 ) n v v→+∞ \= ≠ thì lim nn n u→+∞vđược cho bởi bảng sau:Dấu của L Dấu của v n limn n n u→+∞v+ + +∞+ – −∞– + −∞– – +∞2. Giới hạn của hàm số ..................................................................................................................................................
[1].0 0 lim.x x x x→ = [2]. ( ) 0 lim.x x c c c const→ \= =
Nếu0 lim ( )x x f x L→ \= và0 lim ( )x x g x M→ \= thì:Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II6 Tài liệu lưu hành nội bộ dùng cho năm học 2018 – 2019[1].0 lim ( ) ( ).x x f x g x L M→ + = + [2].0 lim ( ) ( ).x x f x g x L M→ − = −[3].0 lim ( ). ( )..x x f x g x L M→ = [4]. ( ) 0 lim. ( )..x x c f x c L c const→ = =[5]. ( ) 0 ( )lim 0.x x ( )f x LM→ g x M\= ≠ [6].0 lim ( ).x x f x L→ \=[7].0 lim 3 ( ) 3.x x f x L→ = [8]. ( ) 0 lim ( ) ( ) 0 0.x X f x L f x L→ \= ≥ ⇒ ≥
[1]. Ta luôn có x 0 − < x 0 < x 0 +. [2]. Điều kiện có0 lim ( )x x f x L→ \= khi và chỉ khi0 0 lim ( ) lim ( ).x x x x − f x +f x L→ → \= =
• Các kết quả được thừa nhận của giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực:[1]. lim ; lim ( ). x x c c c c c const→+∞ →−∞ = = = [2]. lim 1 0; lim 10 ( * .) x →+∞ x k = x →−∞xk = k∈ • Định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm vẫn đúng cho giới hạn hữu hạn của hàm số tại vôcực, tức là ta thay x → x 0 thành x → +∞ hoặc x → −∞.c. Giới hạn vô cực của hàm số:• Các kết quả được thừa nhận giới hạn vô cực của hàm số:[1]. limk x x→+∞ \= +∞ với k là số nguyên dương. [2]. limk x x→−∞ \= +∞ nếu k là số chẵn.[3]. limk x x→−∞ \= −∞ nếu k là số lẻ. [4].0 0 1lim ( ) lim 0.x x x x ( )f x→ → f x\= +∞ ⇒ =• Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:2. Các quy tắc0 lim ( )x x f x→ \= ±∞ và0 lim ( ) 0x x g x L→ \= ≠ thì0 lim ( ). ( )x x f x g x→ được cho trong bảng sau:0 lim ( )x x f x→ Dấu của L 0lim ( ). ( )x x f x g x→ +∞ + +∞+∞ – −∞−∞ + −∞−∞ – +∞Quy tắc 2: Nếu0 lim ( ) 0x x f x L→ = ≠ và ( ) 0 lim ( ) 0 ( ) 0x x g x g x→ \= ≠ thì0 ( )limx x ( )f x→ g xđược cho trong bảng sau:Dấu của L Dấu của g x( )0 ( )limx x ( )f x→ g x+ + +∞+ – −∞– + −∞– – +∞
• Phương pháp khử dạng vô định00khi x →x 0 :[1]. Đối với hàm phân thức:Ta phân tích tử thức và mẫu thức thành các biểu thức chứa nhân tử chung x − x 0 rồi rút gọn.Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II8 Tài liệu lưu hành nội bộ dùng cho năm học 2018 – 2019Đặc biệt:2 , 0;., 0A khi AA A A AA khi A ≥\= = − = <Ví dụ:( )6 36 55 52 2 2 225 52 23 3 31 1 13lim lim lim lim lim2 1 2 1 2 1 2 1 123 3lim 1 lim. lim 1.1 1 2lim 2 lim 2x x x x xx x xx xx x x xx x x x x xx x x xxx xx xx x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞→−∞ →−∞ →−∞→−∞ →−∞ − − − − − −− \= = = =+ + + ++ − − − − +∞ \= = = + + \= +∞• Phương pháp khử dạng vô định ∞ − ∞ :Ta đưa về dạng∞∞bằng cách nhân liên hợp.Ví dụ:( )( )2 2 22222 222 22 1 1lim 2 1 lim lim lim2 1 1 12 21 1lim1lim lim.1 1 1 2 12 2 1 lim 2 1x x x xxx xxx x x xx xx xx x x xx xx xx x xx xx x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞→−∞→−∞ →−∞→−∞+ − + ++ + = = =+ − + − + − + + + −∞\= = = = = +∞ − −− + − − + − − + − • Phương pháp khử dạng vô định 0.∞ :Ta đưa về dạng∞∞bằng cách nhân liên hợp.Ví dụ:3 3 35 22 3 32 2 4 52 24 5 4122 2 2lim lim lim lim3 1 3 1 3 1 311 12 lim 22lim 2.1 3 11 lim 1x x x xxxxx x x x x x x x xx xx x x xx x xx x x x x xx xx x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞→−∞→−∞→−∞++ + +\= = =− + − − + − + − + + +\= − = − = − = −− + − +3. Hàm số liên tục ..........................................................................................................................................................• Hàm số liên tục tại một điểm có hai dạng cơ bản sau:Dạng 1: Hàm số00( ),( )( ),F x khi x xf xG x khi x x ≠\= =liên tục tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi0 lim x → x f x( ) =f x( 0 ).Do đó ta phải có0 0 0 0lim ( ) và ( ) lim ( ) ( ) ( )x x x xF x k G x k f x f x f x→ →\= = ⇒ = ⇒ liên tục tại điểm x =x 0.Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453 – Facebook: ThayCuongToanĐịa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 9Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số2 2 3 ,3( ) 35, 3x xkhi xf x xkhi x − − ≠\= − =tại điểm x =3.Ta có( )( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 3 1 3lim ( ) lim lim lim 1 4x x 3 x 3 xx x x xf x x→ → x → x →− − + −\= = = + =− −và f (3) = 5Do đó3 lim ( ) (3)x f x f→ ≠ hay f x( ) không liên tục (hay gian đoạn) tại điểm x =3.Dạng 2: Hàm số0 0 ( ),( )( ),F x khi x xf xG x khi x x ≥\= <liên tục tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi0 0 xlim →x + f x( ) = xlim →x− f x( ) =f x( 0 ).Do đó ta phải có0 0 0 0 xlim →x + F x( ) = k, lim x → x − G x( ) = k và F x( 0 ) = k ⇒ xlim → x + f x( ) = xlim →x− f x( ) = f x( 0 ) ⇒ f x( )liên tụctại điểm x =x 0.Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số1, 1( ) 22 , 1xkhi xf x xx khi x − <\= − −− ≥tại điểm x =1.Ta có ( ) 1 1 lim ( ) lim 2 2x x + f x + x→ → \= − = −Và( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 2 1lim ( ) lim lim lim lim 2 1 22 1 2 1 12 1x x x x x x x x xf x xx x xx→ − → − → − → − →− − − − − +\= = = = − − + = −− − − − − −− +Mà f (1) = −2. Do đó1 1 lim ( ) lim ( ) (1) 2x x + f x −f x f→ → \= = = hay f x( ) liên tục tại điểm x =1.
lim ( ) lim ( ).x a x b + f x −f x→ → \=• Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .Ví dụ: Hàm số3 y = x − 3 x+ 2 liên tục trên toàn bộ tập thực tức là nó liên tục trên mọi điểm.• Hàm số phân thức hữu tỉ (tử thức và mẫu thức là hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từngkhoảng xác định của chúng.Ví dụ: Hàm số11xyx+\=−lên tục trên mỗi khoảng ( −∞;1 )và ( 1; +∞ )vì có TXĐ là D = ( −∞;1 ) ∪ ( 1; +∞). • Nếu hàm số f x( ) liên tục trên khoảng a b ; và f a( ). f b( ) < 0 thì phương trình f x( ) = 0 có ít nhất mộtnghiệm trên khoảng ( a b; ). Ví dụ: Hàm số f x ( ) = x 3 + 2 x− 5 liên tục trên (vì nó làm hàm số đa thức) nên hàm số cũng liên tụctrên đoạn 0;2 và có f (0). f (2) < 0 nên phương trình3 x + 2 x− 5 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng( 0;2 .) III. ĐẠO HÀM1. Đạo hàm tại một điểm ...............................................................................................................................................• Đạo hàm của hàm số y = f x( )tại điểm x 0 là0 0 0 0 ( ) ( )'( ) lim lim.x x x f x f x yf x→ x x ∆ → x− ∆\= =− ∆• ∆x = x − x 0 được gọi là số gia của đối số tại x 0.Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453 – Facebook: ThayCuongToanĐịa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội 11∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 ) + y 0 = f '( x 0 )( x − x 0 )+f x( 0 ) Chú ý. f '( x 0 )là hệ số góc của đường thẳng ∆ và nó chính là đạo hàm của hàm số y = f x( )tại điểm x 0.• Có 3 dạng bài về viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f x( )như sau:Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M x( 0 ;y 0 ) Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f x( )tại điểm M x( 0 ;y 0 )là ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+ f x( 0 )với f '( x 0 )là hệ số góc của đường thẳng ∆ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ khi biết ∆ đi qua điểm A a b( ; ) Giả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f x( )tại điểm M x( 0 ;y 0 )là ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+ f x( 0 )với f '( x 0 )là hệ số góc của đường thẳng ∆ Khi đó, vì tiếp tuyến ∆ đi qua điểm A a b( ; )nên b = f '( x 0 ) ( a − x 0 ) + f x( 0 ) ⇒ x 0 =? ⇒ ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+f x( 0 )? Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ khi biết vị trí tương đối của ∆ với một đường thẳngGiả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f x( )tại điểm M x( 0 ;y 0 )là ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+ f x( 0 )với f '( x 0 )là hệ số góc của đường thẳng ∆ Khi đó, nếu ta biết vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường thẳng d :y = ax + bthì ta làm như sau:TH1. ∆ d ⇔ f '( x 0 ) = a ⇒ x 0 =? ⇒ ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+f x( 0 )? Chú ý. Nếu ta tìm được phương trình ∆ : y = ax + cthì c ≠ b(nếu c = bthì ∆ ≡ d).TH2. ∆ ⊥ d ⇔ f '( x 0 ). a = − 1 ⇒ x 0 =? ⇒ ∆ : y = f '( x 0 ) ( x − x 0 )+f x( 0 )? TH3. ( ) 00 0 ( 0 ) 0 0 |
