Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Tính:
LG a
a] \[\int {[2 - x]\sin {\rm{x}}dx} \]
Phương pháp giải:
+] Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính nguyên hàm để làm bài toán.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = 2 x; \, \, dv = sinx dx\]
\[\Rightarrow du = -dx; \, \, v = -cosx\]
Khi đó ta có:
\[\eqalign{
& \int {[2 - x]\sin {\rm{x}}dx} \cr &= \left[ {2 - x} \right]\left[ { - \cos x} \right] - \int {\left[ { - \cos x} \right]\left[ { - dx} \right]} \cr &= [x - 2]cosx - \int {{\mathop{\rm cosxdx}\nolimits} } \cr
& = [x - 2]cosx - s{\rm{inx}} + C \cr} \]
LG b
b] \[\displaystyle\int {{{{{[x + 1]}^2}} \over {\sqrt x }}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \int {{{{{[x + 1]}^2}} \over {\sqrt x }}} dx = \int {{{{x^2} + 2x + 1} \over {{x^{{1 \over 2}}}}}} dx \cr
& = \int {[{x^{{3 \over 2}}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{-1 \over 2}}}]dx \cr
&= \dfrac{{{x^{\frac{5}{2}}}}}{{\frac{5}{2}}} + 2.\dfrac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \dfrac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C \cr &= {2 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + {4 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + 2{x^{{1 \over 2}}} + C. \cr} \]
\[\begin{array}{l}
= \dfrac{2}{5}\sqrt {{x^5}} + \dfrac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + 2\sqrt x + C\\
= \dfrac{2}{5}{x^2}\sqrt x + \dfrac{4}{3}x\sqrt x + 2\sqrt x + C
\end{array}\]
LG c
c] \[\displaystyle\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{e^{3x}} + 1={[{e^x}]^3} + 1 \] \[= [{e^x} + 1][{e^{2x}}-{e^x} +1]\]
Do đó:
\[\eqalign{
& \int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx \cr & = \int {\dfrac{{\left[ {{e^x} + 1} \right]\left[ {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right]}}{{{e^x} + 1}}dx} \cr &= \int {\left[ {{e^{2x}}-{\rm{ }}{e^x} + {\rm{ }}1} \right]} dx \cr
& = {1 \over 2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C .\cr} \]
LG d
d] \[\displaystyle\int {{1 \over {{{[\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} ]}^2}}}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \int {{1 \over {{{[\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} ]}^2}}}} dx\cr & = \int {\dfrac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{4}} \right]} \right]}^2}}}} \cr &= \int {{{d[x - {\pi \over 4}]} \over {2{{\cos }^2}[x - {\pi \over 4}]}}} \cr &= {1 \over 2}\tan [x - {\pi \over 4}] + C \cr} \]
Cách khác:
Ở bước đưa vào vi phân các em cũng có thể làm như sau:
Đặt \[t = x - \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow dt = dx\]
\[\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{dx}}{{2{{\cos }^2}\left[ {x - \dfrac{\pi }{4}} \right]}}} = \int {\dfrac{{dt}}{{2{{\cos }^2}t}}} \\
= \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} = \dfrac{1}{2}\tan t + C\\
= \dfrac{1}{2}\tan \left[ {x - \dfrac{\pi }{4}} \right] + C
\end{array}\]
LG e
e] \[\displaystyle\int {{1 \over {\sqrt {1 + x} + \sqrt x }}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ta có:
\[\eqalign{
& \int {{1 \over {\sqrt {1 + x} + \sqrt x }}} dx \cr & = \int {\dfrac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt x }}{{\left[ {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right]\left[ {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right]}}dx} \cr &= \int {\dfrac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt x }}{{1 + x - x}}dx} \cr &= \int {[\sqrt {1 + x} } - \sqrt x ]dx \cr
& = \int {\left[ {{{[1 + x]}^{{1 \over 2}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right]} dx \cr &= \dfrac{{{{\left[ {1 + x} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C\cr &= {2 \over 3}{[x + 1]^{{3 \over 2}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \cr} \]
\[\begin{array}{l}
= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^3}} - \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\\
= \dfrac{2}{3}\left[ {x + 1} \right]\sqrt {x + 1} - \dfrac{2}{3}x\sqrt x + C
\end{array}\]
LG g
g] \[\displaystyle\int {{1 \over {[x + 1][2 - x]}}} dx\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\dfrac{1}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {2 - x} \right]}} = \dfrac{{x + 1 + 2 - x}}{{3\left[ {x + 1} \right]\left[ {2 - x} \right]}} \] \[ = \dfrac{1}{3}\left[ {\dfrac{{x + 1}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {2 - x} \right]}} + \dfrac{{2 - x}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {2 - x} \right]}}} \right] \] \[= \dfrac{1}{3}\left[ {\dfrac{1}{{2 - x}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]\]
\[\eqalign{
& \int {{1 \over {[x + 1][2 - x]}}} dx \cr
&= {1 \over 3}\int {[{1 \over {1 + x}}} + {1 \over {2 - x}}]dx \cr
& = \dfrac{1}{3}\left[ {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {2 - x} \right| + C} \right]\cr
&= {1 \over 3}\ln |{{1 + x} \over {2 - x}}| + C .\cr}.\]