10 Trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Lê Hoành Phò
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [46.5 MB, 600 trang ]
Nhà giáo nu tú - Th.s LẼ HỒNH PHỊ
lữ trọng điểm
,
■'10N TOA'.
Lớp 12
• Dành cho học sinh lớp 12 chương trình chuẩn và nâng cao
• Ơn tập và nâng cao kĩ năng làm bài
• Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi của Bộ GDBcĐT
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Hà
&ẦW
Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 có tư liệu đọc
thêm để nâng cao trình độ, các bạn học sinh giỏi tự học bô’sung thêm kiên thức kỹ
năng, các bạn học sinh chuyên Toán tự nghiên cứu thêm các chuyên đề, nhà sách
KHANG VIỆT hợp tác biên soạn bộ sách BÔI DƯỜNG HỌC SINH GIỊI, BƠI
DƯỒNG CHUN TỐN gơm 3 cuốn:
-
TRỌNG ĐIỂM TOÁN LỚP 10
-
TRỌNG ĐIỂM TOÁN LỚP 11
-
TRỌNG ĐIỂM TOÁN LỚP 12
Ch TRỌNG ĐIỀM TỐN LỚP 12 này có 21 chuyên đề với nội dung là
tóm tắt kiến thức trọng tâm của Tốn phơ’ thơng và Tốn chun, phần các bài
tốn chọn lọc có khoảng 900 bài với nhiều dạng loại và mức độ từ cơ bản đến phức
tạp, bài tập tự luyện khoảng 250 bài, có hướng dẫn hay đáp sơ'.
Cĩ sách có 3 chun đề nâng cao: ĐA THỨC, PHƯƠNG TRÌNH
NGHIỆM NGUN và TỐN SUY LUẬN.
Dù đã cơ'gắng kiểm tra trong q trình biên tập song cũng khơng tránh khỏi
những khiêm khuyết sai sót, mong đón nhận các góp ý của q bạn đọc để lần in
sau hồn thiện hơn.
Tác giả
LÊ HỒNH PHỊ
Ctụ TNHH MTV DWH Khang Việt
CỄỉUYẽn ắ ĩỉ
TÍNH ĐON Điệu VÀ cục TRỆ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TĂM
Định lí Lagrange: Cho f là một hàm liên tục trên [a, b], có đạo hàm trên
[a,b]. Lúc đó tồn tại c G [a,b] để:
Định lý Rolle: Cho f là một hàm liên tục trên [a,b], có đạo hàm trên [a, b] và
f[a] = /[b]. Lúc đó tồn tại c G [a,b] để f'[c] = 0.
Định lý Cauchy: Cho f và g là hai hàm liên tục trên [a, b], có đạo hàm trên
[a,b] và g'[x] 0 tại mỗi X G [a,b].
Lúc đó tồn tại c G [a,b] để
- - a] =
.
g[b]-g[a] g’[c]
Tính đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng [a; b] khi đó:
- Nếu f đồng biến trên [a; b] thì f '[x] > 0 với mọi X G [a; b].
- Nếu f nghịch biến trên [a; b] thì f '[x] < 0 với mọi X G [a; b].
- Nếu f '[x] > 0 với mọi X G [a; b] và f '[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của
[a; b] thì hàm số đồng biến trên khoảng [a; b].
- Nếu í '[x] < 0 với mọi X e [a; b] và f '[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của
[a; b] thì hàm số nghịch biến trên khoảng [a; b].
- Nếu f đòng biến trên khoảng [a; b] và liên tục trên [a,b] thì đồng biến trên [a,b]; và
liên tục trên [a,b] thì đồng biến trên [a,b]; liên tục trên [a,b] thì đồng biến trên [a,b].
- Nếu f nghịch biến trên [a; b] và liên tục trên [a,b] thì nghịch biến trến [a,b]; liên tục
trên [a,bj thì nghịch biến trên [a,b]; liên tục trên [a,b] thì nghịch biến trên [a,b].
- Nếu f '[x] = 0 với mọi X e D thì hàm số f không đỗi trên D.
Cực trị của hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập hợp D và Xo G D.
x0 được gọi là một điểm cực đại của í nếu tồn tại một khoảng [a; b] chứa
điểm x0 sao cho [a; b] c D và f[x] < f[x0], V X G [a; b] \ {x0}.
3
10 trọng điểm bổi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị_______________
Xo được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng [a; b] chứa
điểm Xo sao cho [a; b] c D và f[x] > f[x0], V X e [a; b] \ {x0}.
Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên [a;b]. Nếu f đạt cực trị tại
điểm Xo G [a;b] thì f '[x0] = 0.
- Cho y = f[x] liên tục trên khoảng [a;b] chứa Xo, có đạo hàm trên các khoảng
[a;r0] và [x0;b]:
Nếu f ’[x] đỗi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại Xo
Nếu f ’[X] đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại Xo.
- Cho y = f[x] có đạo hàm cấp hai trên khoảng [a;b] chứa Xo;
Nếu f '[Xo] = 0 và f "[x0] > 0 thì f đạt cực tiểu tại Xo
Nếu f '[x0] = 0 và í "[Xo] < 0 thì f đạt cực đại tại Xo
ứng dụng vào phương trình
- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f[x] = 0 có tối đa 1 nghiệm.
Nếu f[a] = 0, a thuộc K thì X = a là nghiệm duy nhất của phương trình
f[x]=o.
- Nếu f có đạo hàm cấp 2 khơng đổi dấu trên K thì f ’ là hàm đơn điệu nên
phương trình f[x] =0 có tối đa 2 nghiệm trên K. Nếu f[a] = 0 và f[b] =0 với a
* b thì phương trình f[x]=o chỉ có 2 nghiệm là X = a và X = b .
- Nếu f là một hàm liên tục trên [a, b]> có đạo hàm trên [a,b] thì phương trình
~
có ít nhất một nghiệm c e [a,b].
b-a
Đặc biệt, nếu f[a] = f[b] = 0 thì phương trình f’[x] = 0 có ít nhất một nghiệm
c G [a, b] hay giữa hai nghiệm của í thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f
f ‘[X] =
Chú ý:
1] Tung độ cực trị y = f[x] tại X = Xo:
Hàm đa thức: y = q[x]. y' + r[x] => y0 = r[x0]
HàmhữUtí:y = f[x]=^y0=^ = ^4
v[x]
v[x0]
v'[x0]
Đặc biệt: Với hàm y = f[x] bậc 3 có CĐ, CT và nếu y = q[x]. y' + r[x] thì
phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là y = r[x].
2] Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d= 0, a * 0.
Nếu í ’[x] > 0, Vx hay f '[x] < 0, Vx thì f[x] = 0 chỉ có 1 nghiệm.
Nếu f '[x] = 0 có 2 nghiêm phân biệt và:
4
Ctụ TNHH MTV DVVH Khang Việt
Với yCĐ ycT > 0 : phương trình f[x] = 0 chỉ có 1 nghiệm
Với yCĐ ycT = 0 : phương trình f[x] = 0 có 2 nghiệm [1 đơn, 1 kép]
Với yCĐ .yCT < 0 : phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệm phân biệt
2. CÁC BÀI TỐN
Bài tốn 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi
a] f[x] = COS2X + cos2[x +
] - cosxcos[x + ]
3
3
b] f[x] = 2 - sin2x - sin2[a + x] - 2cosa.cosx.cos[a + x].
Hướng dẫn giải
a] í '[x] = -2cosxsinx - 2cos[x + ^]sin[x +
sinxcos[x +
3 ■■
+ cosx.sin[x +
3
= -sin2x - sin[2x + -77] + sin[2x + ]
3
3
= -sin2x - 2cos[2x +
7Ĩ X
.
7T
].sin -7.
27
6
= -sin2x - cos[2x + ^] = 0, với mọi X.
Do đó f hằng trên R nên f[x] = f[0] = 1 + i
1 _ 3
2 = 4
b] Đạo hàm theo biến X [a là hằng số].
í '[x] = -2sinxcosx - 2cos[a + x]sin[a + x]
+ 2cosa[sinxcos[a + x] + cosx.sin[a + x]].
= -2sin2x - sin[2x + 2a] + 2cosa.sin[2x + a] = 0.
Do đó f hằng trên R nên f[x] = f[0] = 2 - sin2a - 2cos2a = sin2a.
Bài toán 1. 2: Cho 2 đa thức P[x] và Q[x] thoả mãn: P'[x] = Q'[x] với mọi X và
P[0] = Q[0]. Chưng minh: P[x] = Q[x].
Hướng dẫn giải
Xét hàm số f[x] = P[x] - Q[x], D = R.
Ta có f '[x] = P'[x] - Q'[x] = 0 theo giả thiết, do đó f[x] là hàm hằng nên
f[x] = f[0] = P[0] - Q[0] = 0 với mọi X.
=> f[x] s 0 => P[x] = Q[x].
Bài toán 1. 3: Chứng minh rằng:
a] arcsinx + arccosx = Ị, IXI < 1
2
b] 2arctanx + arcsin——— =-7T,X . f'[x]= , ...1 .+
~-L. =0 => f[x] = c=f[4 ]= T •
VĨT? Tvv
2
2
2x
b] Với X < -1,xét f[x] = 2arctanx + arcsin———
1+x
2-2x2
_ [1 + x2]2
Ta có f [x] = ~—^4--^====
1 + x2
1_X2 2
AK . .2 ]
V 1+x
2
1+x
2
n
.
4'
— = 0 [ vì X < — 1].
1+x
Suy ra f[x] = c = f[-1]=-Ị 4-=-2L
2ỉ
4
4
Bài tốn 1. 4: Tính gọn arctanx + arctan- với X * 0.
X
Hướng dẫn giải
Xét f[x] = arctanx + arctan —,D = [-00 ;0] u [0;+oo ]
X
Với X e [0;+ 00 ] thì f liên tục và có đạo hàm
-1
1
Y2
f '[x] = —+ - *
--14- X2
14- X2
1
1
i
= ——------- = 0 nên í hăng trên [0;+ 00 ].
1 + X2 1 + X2
Do đó f[x] = f[1] = 2L + 2L = I.
4
4
2
Với X e[—00 ;0 ] thì f liên tục và có đạo hàm f'[x] = 0 nên f hằng trên [-00 ;0].
Do đó f[x] = f[-1] = -Ị - Ị = -Ị .
4
4
2
.
-Ị khi X < 0
.1
9
Vậy arctanx 4- arctan— = 0
12
Bài toán 1. 5: Tìm số c trong định lý Lagrange:
a] y = f[x] = 2x2 + X - 4 trên [-1,2]
b] y = f[x] = arcsinx trên [ 0;1] .
6
Ctụ TNHH MTV DWH Hhang Việt
Hướng dẫn giải
a] Hàm số y = f[x] = 2x2 + X - 4 liên tục trên [-1,2] và có đạo hàm f ’[x] = 4x +1,
theo định lý Lagrange thì tồn tại số c e [-1 ;2] sao cho:
f[2]-f[-1]
6+3
1
. ——-...-. -.= f [c] o —— = 4c +1 4c = 2c = —.
2-[-1]
3
2
b] Hàm số y = f[x] = arcsinx liên tục trên [ 0; 1] và có đạo hàm f '[x] = -7==,
V1-X2
theo định lý Lagrange thì tồn tại số c G [0; 1 ] sao cho:
--0
f./^2
_
1
[]
1
X7
f[1]-f[0]
■^0
4
9
. 4 Chọnc = J1--7í. 4 .
«1-co2 = ~c
2 =1--;-.
7t
2
71
-
2
\
N
„2
71
Bài toán 1. 6: Xét chiều biến thiên của hàm số:
a] y = X4 - 2x2 - 5
b] y = —-—[x-4]2
Hướng dẫn giải
a] D = R. Ta có y' = 4x3 - 4x = 4x[x2 - 1]
Cho y' = 0 4x[x2 - 1] = 0
X = 0 hoặc x = ±1.
BBT ____________ :___________________ _
X
—00
-1
0
1
+oo
y'
-
0
+
0
-
0
+
y
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng [-00; -1] và [0; 1], đồng biến trên
mỗi khoảng [-1; 0] và [1; +oo].
-2
b] D = R\{4}. Tacóy’= ----- í—
[X - 4]3
y' < 0 trên khoảng [4; +oo] nên y nghịch biến trên khoảng [4; +oo].
y' > 0 trên khoảng [-00; 4] nên y đồng biến trên khoảng [-oo; 4].
Bài tốn 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
b] y = -7=.
V1 -X
a] y = -=2=^
VX2 -6
Hướng dẫn giải
a] Tập xác định D = [-co; -Vẽ] u [\/ẽ;
7
10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-00; -3], [3; +00], nghịch biến trên
các khoảng [-3; -x/ẽ], [Vẽ; 3].
b] D = [-00; 1] Ta có y' = —3"x . > 0, Vx < 1.
2ự[1-x]3
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [-00: 1].
Bài toán 1. 8: Xét sự biến thiên của hàm số:
a] y = X + COS2X
b] y = X - sinx trên [0; 2tt].
Hướng dẫn giải
a] D = R. Ta có y' = 1 - 2cosxsinx = 1 - sin2x
y' = 0 sin2x = 1 o X = - + kiĩ, k 6 z.
4
Hàm sô liên tục trên môi đoạn [-7 + k7i; -7 + [k + 1]n] và
4
4
y' > 0 trên mỗi khoảng [4 + kĩr;
+ [k + 1]ĩt] nên đồng biến trên mỗi đoạn
4
4
+k7i; 4 +[k+1]7r], keZ.
4
4
Vậy hàm số đồng biến trên R.
b] y' = 1 — cosx. Ta có Vx [0; 2rr] => y' > 0 và y' = 0 X = 0 hoặc X = 2n.
Vì hàm số liên tục trên đoạn [0; 2n] nên hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2n].
Bài toán 1. 9: Chứng minh các hàm số
a] y = cos2x - 2x + 5 nghịch biến trên R.
b] y = -S'pjx+ a] [a
sin[x + b]
b + kĩt; k G Z] đơn điệu trên mỗi khoảng xác định.
Hướng dẫn giải
a] Vx1f x2 6 R, Xi < x2 .Lấy hai số a, b sao cho a < Xi < x2 < b.
Ta có: f '[x] = -2[sin2x + 1] < 0 với mọi X e [a; b].
Vì í '[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng [a; b] nên hàm số f
nghịch biến trên khoảng [a; b] => đpcm.
b] Điều kiện X
8
-b + kĩt [k G Z].
Ctụ TNHH MTV DWH Khang Việt
sin[x + b]cos[x + a]-sin[x + a]cos[x + b] _ sin[b-a]
y —
sin2[x + b]
sin2[x + b]
Vì y' liên tục tại mọi điểm X * -b + k?r, và a - b kn nên y' giữ nguyên một
dấu trong mỗi khoảng xác định => đpcm.
Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:
a] y = [m - 3]x - [2m + 1]cosx nghịch biến trên R.
b] y = X3 + 3x2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.
Hướng dẫn giải
a] y' = m - 3 + [2m - 1]sinx
Hàm số y không là hàm hằng nên y nghịch biến trên R:
y' 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm:
6
3
X = Ị + k7T, k e Z; yCT = ĩ + kĩr - Ặ + 2.
6
6
2
b] y' = 2sinx + 2sin2x = 2sinx[1 + 2cosx]:
sinx = o
y' = 0
-Ị o X = kn hoặc X = ± 44 + 2kĩĩ, k 6 z.
cosx = - 4
3
L
2
y" = 2cosx + 4cos2x
Ta có y"[kn] = 2coskn + 4cos2kji = 2cosk7T + 4 > 0, với mọi k G z, nên hàm
số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm X = kĩt, yCT = 2 - 2cosk7i bằng 0 khi k
chẵn và bằng 4 khi k lẻ.
,
2tĩ
_
2n .
4k _
2tt
_ _
'
Ta có y"[±~ + 2k7ĩ] = 2 cos -~ + 4cos44 = 6C0S-4- = -3 < 0 nên hàm số
3
3
3
3
~
>
2n
đạt cực đại tại điêm: X = ±4- + 2kn, k € z,
3
Bài tốn 1. 14: Chứng minh hàm số
í-2x
9
yCĐ _
_ —
khix0
I
2
điểm đó.
b] y = f[x] =[x - a][x - b][x - c], a * c ln có cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải
a] Hàm số f xác định và liên tục trên R. Ta có
-2x
khi X < 0
nên lim í'[x] = -2 lim f'[x] = 4,
1 __ X
x4ịxVõ2
-cos 4 khix>0
2
2
khơng có đạo hàm tại X = 0 và BBT trên khoảng [-7t; n].
í
-[X]
=
do đó f
11
10 trọng điểm bổi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị
Vậy hàm số đạt cực đại tại X = 0 và yCĐ = y[0] = 0.
b] D = R. y' = [x-b][x-c] + [x-a][x-c] + [x-a][x-b]
= 3x2 - 2[a + b + c] + ab + bc + ca.
A' = [a + b + c]2 — 3[ab + bc + ca] = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
= i [[a-b]2 + [b-c]2 + [c-a]2] > 0 với a * c.
Do đó y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt và đỗi dấu 2 lần khi qua 2 nghiệm nên
ln ln có một cực đại và một cực tiểu.
Bài tốn 1.15: Tìm tham số thực sao cho hàm số
a] f[x] = x + p + —~ đạt cực đại tại điểm [-2; -2].
x+1
..
_ asinx-cosx-1 - .__ ... . „ -.X .. .. /n. 9
* \
b] f[x] =-------- ——--------- đạt cực trị tại 3 điêm thuộc [0; -7-].
acosx
4
Hướng dẫn giải
a] Ta có f '[x] = 1----- , với mọi X * -1.
X +1
Nếu q < 0 thì f '[x] > 0 với mọi X * -1: loại.
,
X2 + 2x + 1 — q
Nêu q > 0 thì phương trình: f '[x] = -------- —-—- = 0 có hai nghiệm phân
[x + 1]2
biệt Xi = -1 - ựq và x2 = -1 + ựq .
Hàm số đạt cực đại tại điểm [2; -2] khi và chỉ khi
_-1~7
thuộc khoảng [0;
ỠTC
4
o sinx = a có 3 nghiệm thuộc khoảng [0; 4 ] \ {2 ;
} 0 < a 0
7[x - 1]2 + 3
nên hàm số f[x] đồng biến trên R, do đó:
7x2 + 2x + 4 - 7x2 -2X + 4 = 2[73-1] o f[x] = f[2] X = 2.
Vậy nghiệm duy nhất X = 2.
b] PT « 2x3 - 3x + 72x3 - 3x + 1 = X2 +1 + 7x2 +2
, ......
ar------ - . . _
.........
1
Xét hàm sô: f[t] = t + \/t +1 trên R, í *[t] = 1 + —r==== > 0 nên hàm số f[t]
37[t +1]2
đồng biến trên R, do đó:
15
TO trọng điểm bổi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hoanh Phò
PT: f[2x3 - 3x] = f[x2 + 1] o 2x3 - 3x = X2 + 1
o 2x3 - X2 - 3x - 1 = 0 [x +
][2x2 - 2x - 2] = 0
1
X = - 4 hay X = .... .. -.
2
2
Bài toán 1. 20: Giải các phương trình :
a] 9x2 -54x + 72= I—í—ĩ-ĩ-í-ĩ
|2x-5| ■ |x-1|
b] 4 I 2x - 1 I [x2 - X + 1] = X3 - 6x2 + 15X-14.
Hướng dẫn giải
a] ĐK:x
1;
*
I, PT: 3[2x - 5]2 “ |2x _ 5| " 3[x ~1]2 -
Xét f[t] = 3 t2 - - với t > 0. Ta có:
t
f '[t] = 6t + 4- >0 nên f đòng biến trên [0; +30]
t2
Phương trình: f[ 12x - 51] = f[ IX - 11] 12x - 51 = IX - 11
4x2 - 20x + 25 = X2 - 2x + 1 3x2 - 18x + 24 = 0.
x2-6x + 8 = 0«x = 2 hoặc X = 4 [chọn]
Vậy nghiệm X = 2 hoặc X = 4
b] PT: 12x - 11 ,[[2x - 1]2 + 3] = [x - 2]3 + 3x - 6
12x - 1 i3 + 3 I 2x - 1 I = [X - 2]3 + 3[x - 2]
Xét hàm số f[t] = t3 + 3t, D = R.
Ta có f '[t] = 3t2 + 2 > 0 nên f đòng biến trên R.
PT: f[ 12x - 1 I] = f[x - 2] 12x - 1 I = X - 2
X-2>0
íx > 2
_
'
[VN]. Vậy s = 0.
[3x2=3
[2x - 1]2 - [X - 2]2
Bài toán 1. 21: Giải các hệ phương trình:
a] 1
b] [y-1] [x + y]2 -1
[1]
= |x + y|[y2 -2y] [2]
Hướng dẫn giải
a] Xét f[t] = 5t7+ 7t5, t G R thì f[t] = 35t6 + 35t4 " 0, V t nên f đồng biến trên R.
16
Ctụ TNHH MTVDWH Khang Việt
Do đó 5x7+ 7x5 = 5x7+ 7x5 f[x] = f[y] X = y
Nên [8x3 + 1]3 + 27 = 162y [8x3 + I]3 = 162x - 27
Đặt u = 2x, phương trình: [u3 + 1]3 = 27[3u - 1] o u3 + 1 = 3x/3u-1
Lại đặt V = \/3u -1 V3 + 1 = 3u
Ta có hệ: 1: [3] - +
~^=
|x + y|
Xét? hàm số f[t] = t -
.
y -1
, D = [0 ; + oo]
f '[t] = 1 + y>0,VteD=> hàm số đồng biến trên D
PT f[ IX + y I] = f[y - 1] IX + y I = y - 1
x = —1
Í
y=2
. Khi X = 1 - 2y :
X =.-..
5
y = — —7
5
17
10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12 - Lê Hồnh Phị
Bài tốn 1. 22: Giải các hệ phương trình
36x2y - 60x2 + 25y = 0
X2 - 2x +1 = 2y
a]< y2
—2
z
b] < 36y2z - 60y2 + 25z = 0
2y +1 = 2z .
36z2x - 60z2 + 25x = 0
2z +1 = 2x
Hướng dẫn giải
a] Ta có 2y = X2 - 2x + 1 = [x -1]2 > 0 => y > 0. Tương tự z, X > 0.
Đặt f[t] = t2 - 2t + 1, t > 0 thì f '[t] = 2[t - 1] nên f đồng biến trên [1; +oo] và
nghịch biến trên [0; 1]. Đặt g[t] = 2t, t > 0 thì g'[t] = 2 > 0 nên g đồng biến
f[x] = g[y]
trên [0; +oo]. Ta có hệ < f[y] = g[z]
[f[z] = g[x]
Giả sử X = min{x; y; z}. Xét X < y < z.
- Nếu x>1thi1