- LG a
- LG b
Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:
LG a
[m - 4]x2- [m - 6]x + m 5 0
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp hệ số a=0 và \[a\ne 0\].
TH \[a\ne 0\] thì tam thức bậc hai
\[a{x^2} + bx + c \le 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
+ Với m = 4, bất phương trình thành:
2x 1 0 \[ \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\], không thỏa mãn điều kiện với mọi x
+ Với m 4. : [m - 4]x2- [m - 6]x + m 5 0, x
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m - 4 < 0 \hfill \cr
\Delta = {[m - 6]^2} - 4[m - 4][m - 5] \le 0 \hfill \cr} \right.\cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
{m^2} - 12m + 36 - 4\left[ {{m^2} - 9m + 20} \right] \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
- 3{m^2} + 24m - 44 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 4\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{{12 + 2\sqrt 3 }}{3}\\
m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\]
Vậy \[m \le \frac{{12 - 2\sqrt 3 }}{3}\].
LG b
[m2- 1]x2+ 2[m + 1]x + 3 > 0
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp hệ số a=0 và \[a\ne 0\].
TH \[a\ne 0\] thì tam thức bậc hai
\[a{x^2} + bx + c > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
TH1:\[{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\]
+ Với m = 1, bất phương trình trở thành:
4x + 3 > 0 \[ \Leftrightarrow x > - \frac{3}{4}\], không thỏa mãn với mọi x
+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x nên m = -1 thỏa mãn bài toán.
TH2: Với \[m \ne \pm 1\] thì:
[m2- 1]x2+ 2[m + 1] + 3 > 0 x
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {[m + 1]^2} - 3[{m^2} - 1] < 0 \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\\{m^2} + 2m + 1 - 3{m^2} + 3 < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy với m -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \[\mathbb R\]