- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
LG a
\[y = \sqrt {|{x^2} + 3x - 4| - x + 8} \]
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương
\[\left| f \right| \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f \ge g\\
f \le - g
\end{array} \right.\]
Cách khác: Phá dấu GTTĐ và giải các bpt thu được.
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& |{x^2} + 3x - 4| - x + 8 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x - 4|\,\, \ge x - 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 8 - x \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 2x + 4 \ge 0[1] \hfill \cr
{x^2} + 4x - 12 \le 0[2]\hfill \cr} \right. \cr} \]
Xét [1] ta có:
\[{x^2} + 2x + 4 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3 \ge 0\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} + 3 \ge 0\] [luôn đúng]
Nên tập nghiệm của [1] là R.
Xét [2] ta có:
\[{x^2} + 4x - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 2\] nên tập nghiệm của [2] là [-6;2].
Hợp hai tập nghiệm của [1] và [2] ta được S=R.
Vậy \[S =\mathbb R\].
Cách khác:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
|x2+ 3x - 4| - x + 8 0 [*]
+ Nếu -4 < x < 1 thì x2+ 3x 4 < 0, khi đó [*] trở thành:
- [ x2+ 3x 4] x + 8 0
- x2 4x + 12 0
-6 x 2
Kết hợp điều kiện: - 4 < x < 1 ta được: - 4 < x < 1.
* Trường hợp 2. Nếu x 4 hoặc x 1 thì x2+ 3x 4 0 .
Do đó, bất phương trình [*] trở thành:
x2+ 3x 4 x + 8 0
x2+ 2x + 4 [ luôn đúng với mọi x vì x2+ 2x + 4 = [x+1]2+ 3 > 0 mọi x].
* Kết hợp cả hai trường hợp,vậy tập xác định của hàm số là D = R.
LG b
\[y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}}} \]
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \[{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}} \ge 0\]
Vì \[{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\] \[ = {\left[ {x + \frac{1}{2}} \right]^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x\]nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \[|2x 1| - x 2 > 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow |2x - 1| > x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - 1 > x + 2 \hfill \cr
2x - 1 < - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 3 \hfill \cr
x < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = [ - \infty , - {1 \over 3}] \cup [3, + \infty ]\].
Cách khác:
LG c
\[y = \sqrt {{1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \]
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - [{x^2} - 7x + 5]} \over {[{x^2} - 7x + 5][{x^2} + 2x + 5]}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {[{x^2} - 7x + 5][{x^2} + 2x + 5]}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\cr &[do\,{x^2} + 2x + 5 =[x+1]^2+4> 0,\forall x] \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}] \cup [{{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty ]\]
LG d
\[\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3}\]
Phương pháp giải:
Giải bpt
\[\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {[x - 3]^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {x^2} - 6x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[S = [-; -2] [23, +]\]