Bài tập về khai triển maclaurin có lời giải

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot(20)

Similar to Bai7 khai trien_taylor

Similar to Bai7 khai trien_taylor(20)

More from ljmonking

More from ljmonking(20)

Recently uploaded

Recently uploaded(20)

Bai7 khai trien_taylor

• 1.
• 2. triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1! 2! ! n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − +L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0) c nằm giữa x và x0
• 3. triển Taylor với phần dư Peano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1! 2! ( ! )n n n f x f x f x f x x x x x f x o x xx x n ′ ′′ = + − + − + −+ − +L f có đạo hàm cấp n tại x0: Phần dư Peano. x0 = 0: khai triển Maclaurin.
• 4. khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp ⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức.
• 5.
• 6. )f x x o x= + f(x) = sinx
• 7. ) 3! x f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= + f(x) = sinx
• 8. ) 3! x f x x o x= − +( ) ( )f x x o x= + 4 2 1 7 1 ( ) ( 1) ( ) (2 1)! n n n x f x o x n − = = − + − ∑ f(x) = sinx
• 9. triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3 ) •Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 ( )f x x =
• 10. )f x x = 2 1 ( )f x x ′ = − (1) 1f ′⇒ = − 3 2 ( )f x x ′′ = (1) 2f ′′⇒ = 4 6 ( )f x x ′′′ = − (1) 6f ′′′⇒ = − ( ) 2 3 3 (1) (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − (4) 5 24 ( )f x x =
• 11. (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − ( )2 3 31 2 6 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1! 2! 3! f x x x x o x= − − + − − − + − ( )32 3 1 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x= − − + − − −+− Phần dư Peano
• 12. dùng phần dư Lagrange: 32 3( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx= − − + − +−− 4( 3 ) 4( ) ( 1) !4 cf R x⇒ = − 4 4 5 5 1 24 ( 1) ( 1) 4! x x c c − = − =
• 13. ) 2tan (1 tan )f x x x′′ = + 2 2 2 ( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x′′′ = + + + ( ) 2 3 3 (0) (0) ( ) (0) ( 0) ( 0) 1! 2! (0) ( 0) ( 0) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − 3 3 tan ( ) 3 x x x o x= + + Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x 2 ( ) 1 tanf x x′ = +
• 14. 3(2) (2) (2) ( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! f f f f x f x x x ′ ′′ ′′′ = + − + − + − Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4) (x) = 0 ⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư.
• 15. (2) ( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! f f f f x f x x x ′ ′′ ′′′ = + − + − + − Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = −1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) 2 31 4 12 0 ( 2) ( 2) ( 2) 1! 2! 3! x x x= − − + − + − 2 3 ( 2) 2( 2) 2( 2)x x x= − − + − + − 2 ( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x′⇒ = − + − + − (1) 1, (1) 1f f ′⇒ = =
• 16. các hàm cơ bản ( ) ( )k x f x e= ( ) ( ) 1 (0) (0) ( 0) ( 0) ! n k x k n k f e f x o x k= = + − + −∑ 1 1 1 ( ) ! n x k n k e x o x k= = + +∑ ( ) (0) 1k f⇒ = (x0 = 0) (. )1 x f x e=
• 17. 1) ( 1)! ( ) (1 ) k k k k f x x − − − = + ( ) ( ) 1 (0) ln(1 ) (0) ! n k k n k f x f x o x k= + = + +∑ 1 1 ln(1 ) ( 1) ( ) n k k n k x x o x k − = + = − +∑ ( )2. l 1 )n(f x x= + ( ) 1 (0) ( 1) ( 1)!k k f k− ⇒ = − −
• 18. ( 1) ( 1)(1 )k k f x k x α α α α − = − − + +L ( ) ( ) 1 (0) (1 ) (0) ! n k k n k f x f x o x k α = + = + +∑ 2( 1) (1 ) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( ) ! n n x x x n x o x n α α α α α α α − + = + + + − − + + + L L ( )3. (1 )f x x α = + ( ) (0) ( 1) ( 1)k f kα α α= − − +L
• 19. α = − 1. 2 31 1 ( 1) ( ) 1 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + L 2( 1) (1 ) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( ) ! n n x x x n x o x n α α α α α α α − + = + + + − − + + + L L
• 20. sin 2 k f x x k π = + ÷   ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 (0) sin (0) ! n k k n k f x f x o x k − − = = + +∑ ( ) si3. nf x x= ( ) (0) sin 2 k f k π ⇒ = (1) (0) 1,f = ( ) 2 1 1 2 1 1 sin ( 1) (2 1)! n k k n k x x o x k − − − = = − + − ∑ ( )(2 ) 0 0p f = (3) (0) 1,f = − ( ) 1(2 1) (0) 1 pp f −− = −
• 21. ) 2 0 (0) sin (0) ! n k k n k f x f x o x k= = + +∑ ( ) 2 1 1 2 1 sin ( 1) (2 1)! n k nk k o x x x k − − = = − + − ∑ Lưu ý cho hàm sin x f(2n) (0) = 0 ⇒ hệ số của x2n là 0.
• 22. kt Maclaurin cơ bản 2 1 ( ) 1! 2! ! x n nx x x e o x n = + + + + +L 2 3 1 ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) n n nx x x x o xx n − = − + − + − ++ L 2( 1) 1 1! 2! ( 1) ( 1) ( (1 ) ) ! n n x x n x o x x n α α α α α α α − = + + + − − + + + + L L
• 23. 1) 1 1 ( )n n n x x x o x x x= − + − + + − + + L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 ( 1) 3! 5! (2 1)! sin n n n x x x x x o x n − − − = − + − + − + − L ( )( )2n hay o x+ ( ) 2 4 2 2 1 ( 1) 2! 4! ( c 2 )! os n n nx x x o xx n = − + − + − +L ( )( )2 1n o xhay + +
• 24. của arctan và hyperbolic ( ) 3 5 2 1 2 1 s 3! 5! (2 1) i ! nh n nx x x x o x n x − − = + + − + + − L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 ( 1)arcta 5 2 1 n 3 n n nx x x x o x n x − − − = − + − + − + − L ( ) 2 4 2 2 1 2! 4! cos ( )! h 2 n nx x x o x n x = + + − + +L Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
• 25. dụng ( )2 3 3 1 u u u o u= − + − + ( )2 3 3 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x= − − + − − − + − 1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1 ( )f x x = x0 = 1 ≠ 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 1 ( ) 1 f x u = + Trả về biến cũ:
• 26. triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: ( ) ln( 2)f x x= + u = x – 1 ( ) ln(3 )f x u= + ln(1 2 )u= + + ( ) 2 3 3(2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 3 u u u o u + + = + − + + + Sai! (u + 2) ≠ 0 khi u = 0 (hay x = 1). 2 3 1 ln(1 ) ( 1) ( ) 2 3 n n nx x x x x o x n − + = − + − + − +L
• 27. )f x u= + ln3 1 l 3 n3 ln 1 3 uu   = + = + + ÷  ÷     ln3= 3 u + 2 3 2 u   ÷  − 3 3 3 u   ÷  + 3 3 u o   +  ÷ ÷    2 3 31 1 1 ln3 ( ) 3 18 81 u u u o u= + − + + Nhớ trả về x 1 0 x u = =
• 28. triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − − 2 1 6 ( ) ( 1)( 4) 5( 1) 5( 4) x f x x x x x + − = = + + − + − 1 1 6 1 5 1 201 4 xx − = − + − Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.
• 29. 1 ( ) 5 1 201 4 f x xx − = − + − 2 31 1 ( 1) ( ) 1 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + L ( )2 3 31 1 ( ) 5 x x x o x − = − + − + 2 3 31 1 7 25 ( ) ( ) 2 8 32 128 f x x x x o x − = + − + + 2 3 3 6 1 20 4 4 4 4 x x x x o          − − − + − − − + −  ÷ ÷  ÷  ÷  ÷           
• 30. triển Maclaurin đến cấp 3 cho: ( ) .ln(1 )x f x e x= + 1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao. 2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g: Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k ⇒g khai triển đến bậc (n – k)(và ngược lại).
• 31. 3 4 x x x x   − + − + ÷   L 2 3 2! 6 1 ! x x x   + + + + ÷   L x e ln(1 )x+ Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0 . ⇒ ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 ⇒ ex khai triển đến x2
• 32. )x f x e x= + 2 3 ( )f x = 2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x   − + + ÷   2 2 1 ( ) 2! x x o x   + + + ÷   2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x= + + + (0) (1) khai triển cấp 3
• 33. triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho: ( ) sin .ln(1 )f x x x= + ( ) sin .ln(1 )f x x x= + (1) (1) 1.Khai triển cấp 4: 3 3 ( )f x = 2 3 3 ( ) 2 3 x x x o x   − + + ÷   3 3 ( ) 3! x x o x   − + ÷   3 4 2 3 ( ) 2 6 x x x o x= − + +
• 34. .ln(1 )f x x x= + (1) (1) 2.Khai triển cấp 3: 2 2 ( )f x = 2 2 ( ) 2 x x o x   − + ÷   ( )2 ( )x o x+ 3 2 3 ( ) 2 x x o x= − +
• 35. triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 ( ) x x f x e − = Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0 ⇒ khai triển Maclaurin của f theo u. Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống.
• 36. 1x x f x e x x− = = + − ( ) 22 2! x x− + ( ) 32 3! x x− + ( )( )32 o x x+ − 2 1 x x= + − 21 2 x+ 3 x− 31 6 x+ ( )3 o x+ ( )2 3 31 5 1 2 6 x x x o x= + − − + Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x. 2 1 x x x− :
• 37. triển Maclaurin đến cấp 4 cho: ( ) ln(cos )f x x= ln(cos ) ln(1 cos 1)x x= + − 21 cos 1 2 u x x= − −: Cần khai triển đến x4 ⇒khai triển f đến u2 ( ) ( )( ) 2 2cos 1 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 2 x x x o x − + − = − − + −
• 38. ) 2 2cos 1 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 2 x x x o x − + − = − − + − ( ) 2 4 4 1 1 2! 4! x x o x= − + + − ( ) ( ) 22 4 4 41 1 1 2 2! 4! x x o x o x   − − + + − + ÷   ( ) 2 4 4 2 12 x x o x= − − + x4 trong số hạng bình phương không sử dụng ( ) 22 21 2 1 1 2! x o x   − + −− ÷   cos x chỉ cần khai triển đến x2
• 39. triển Maclaurin đến cấp 3 cho: 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − + (Mẫu số vô nghiệm) ( ) 2 1 1 ( ) 2 4 3 1 4 f x x x x = + − + + ( ) ( ) 2 32 2 2 3 1 2 4 3 3 3 1 4 4 4 x x x x x x x o x = +     − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷    
• 40. 32 2 2 3 1 2 4 3 3 3 1 4 4 4 x x x x x x x o x = +     − + − + − + ÷× − + − + ÷  ÷ ÷  ÷ ÷     ( ) ( )2 3 31 3 5 3 2 1 4 4 16 64 x x x x o x   = + + + + + ÷   ( )2 3 31 5 11 13 2 8 32 128 x x x o x= + + + +
• 41. đa thức (xếp bậc từ thấp đến cao) 2 4 3x x− +2 x+ 1 2 25 1 2 2 x x− 5 8 x+ 2 311 5 8 8 x x− 211 32 x+ 313 32 x+ 313 128 x+ 2 2 ( ) 3 4 x f x x x + = − +
• 42. 1 cos 1 x x x x x = = × + − 10. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho: ( ) tanf x x= (0)(1) 5 4 ( )2 2 sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x = × − − + − + −   22 4 2 4 2 4 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 24 2 x x x x o x o x o x       = − − + + − + − + − + ÷  ÷      
• 43. 2 4 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 24 2 x x x x o x o x o x       = − − + + − + − + − + ÷  ÷       3 5 5 ( ) 6 120 x x x o x   = − + + ÷   2 4 41 5 1 ( ) 2 24 x x o x + + + ÷   3 5 51 2 ( ) 3 15 x x x o x= + + +
• 44. 4 5 ( ) sin 6 120tan cos 1 ( ) 2 24 x x x o x x x x x x o x − + + = = − + + 2 4 1 2 24 x x − + 3 5 6 120 x x x − + x 3 51 1 3 30 x x− 31 3 x+ 52 15 x+ 52 15 x+ 3 5 51 2 tan ( ) 3 15 x x x x o x= + + +
• 45. khai triển của f(x) = arctan x ( ) arctanf x x= 2 1 ( ) ( ) 1 f x g x x ′ = = + Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n . 2 4 6 2 2 ( ) 1 ( 1) ( )n n n g x x x x x o x= − + − + + − +L (0) 0f = (0) (0) 1f g′ = = (0) (0) 0f g′′ ′= = (0) (0) 1 2!f g′′′ ′′= = − × (2 ) (2 1) (0) (0) 0k k f g − = = (2 1) (2 ) (0) (0) ( 1) (2 )!k k k f g k+ = = −
• 46. ) (2 ) 2 2 1 2 1 (0) (0) (0) ( ) (0) 1! 2! 3! (0) (0) (2 )! (2 )! n n n n n f f f f x f x x x f f x x o x n n + + + ′ ′′ ′′′ = + + + + + + + + + L ( ) 3 5 2 1 1 2 1 arctan ( 1) 3 5 2 1 n n nx x x x x o x n − − − = − + − + − + − L Cách viết khai triển cho arctan là cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung.
• 47. khi viết khai triển Taylor tai x0 1. Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin 2. Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức u(x) với điều kiện u(x0) = 0. 3. Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu. 4. Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm còn lại. 5. Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).
• 48. tính đạo hàm. B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n. B2: Xác định hệ số của (x – x0)n trong khai triển. B3: Giả sử hệ số trong B2 là a. f(n) (x0) = a.n! Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.
• 49. 2! x x − + 1 1 1 3! 2! 3 − + = 1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex .sinx Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là 2 3 2 3 ( ) 1 ( ) ( ) 2! 3! x x f x x o x x o x    = + + + − + ÷ ÷    Các số hạng chứa x3 là: ⇒ Hệ số của x3 là: 1 (0) 3! 2 3 f ′′′⇒ = × =
• 50. cấp 3 tại x = 0, 2 ( ) ln(1 )f x x x= + + Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là 2 2 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 x x x x f x x x o x + + = + − + + Các số hạng chứa x3 là: 31 2 2 x− × 31 3 x+ × ⇒ Hệ số của x3 là: 2 3 − 2 (0) 3! 4 3 f ′′′⇒ = − × = −
• 51. cấp 12, 13 tại x = 0, 3 1 ( ) 2 f x x = + Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là 3 1 1 ( ) 2 1 2 f x x = × + 2 33 3 3 1 1 2 2 2 2 x x x        = × − + − ÷  ÷  ÷        ( ) 12 131 1 0 2 16 x o x   = × − + + +    L ( ) 4 53 3 2 2 x x o     + − + ÷  ÷     
• 52. , (0) 0 13! 32 f f⇒ = × = × 1 32 Hệ số của x13 là: 0 ⇒ Hệ số của x12 là: ( ) 12 131 ( ) 1 0 2 16 x f x o x   = × − + + +    L
• 53. triển Taylor trong tính giới hạn 1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital) tính quá dài hoặc không tính được. 2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu. Do đó các biểu thức được khai triển đến khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim.
• 54. x o x   = − − + ÷   3 3 ( ) 3! x o x= + 3 3! x : 1 , 3 6 a p⇒ = = 1.Tìm các hằng số a,p để VCB α(x) ∼ axp khi x → 0. / ( ) sina x x xα = −
• 55. 2 x x b x x e eα − = − + 2 2sinhx x= − 3 3 3 2 2 ( ) 2 3! 6 x x x x o x   = − + + − ÷   :
• 56. sin cosc x x x xα = − 3 2 3 2 ( ) 1 ( ) 6 2 x x x o x x o x   = − + − − + ÷   3 3 ( ) 3 x o x= + 3 3 x :
• 57. lim 1 5 1x x a x x→ + − − ( ) 2 0 2 2 lim 1 1 1 1 1 .5 1 5 ( ) 1 5 2!5 5 x x x x o x x → =   + + − + − − ÷   2 20 2 lim ( ) 2 x x x o x → = − + 2 20 1 lim 2 2 x x x→ = = − −
• 58. x x e e b x x→ − + tan tan 30 1 lim x x x x e e x − → − = 30 tan lim1 x x x x→ − = 3 3 30 ( ) 3lim x x x x o x x→ − − + = 1 3 = −