Các bài tập về tứ giác nội tiếp năm 2024
GIỚI THIỆU BÀI HỌCNỘI DUNG BÀI HỌCNỘI DUNG KHÓA HỌCĐĂNG KÝ NHẬN EMAIL Show ĐĂNG KÝ EMAIL nhận thông tin bài giảng video, đề thi và ưu đãi đặc biệt từ HỌC247 Copyright © 2022 Hoc247.vn Đơn vị chủ quản: Công Ty Cổ Phần Giáo Dục HỌC 247 GPKD: 0313983319 cấp ngày 26/08/2016 tại Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.Hồ Chí Minh Giấy phép Mạng Xã Hội số: 638/GP-BTTTT cấp ngày 29/12/2020 Địa chỉ: P401, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Quận Bình Thạnh, TP. HCM, Việt Nam. Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247 Copyright © 2022 Hoc247.vn Hotline: 0973 686 401 /Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247 Với cách giải Tứ giác nội tiếp môn Toán lớp 9 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Tứ giác nội tiếp. Mời các bạn đón xem: Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập - Toán lớp 9 Bạn đang xem: 50 bài tập về Tứ giác nội tiếp (có đáp án 2024) | Toán 9
1. Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Trong hình vẽ trên, ta nói: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. 2. Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° . - Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Xét hình vẽ: - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ⇒A^+C^=180° hoặc B^+D^=180° - Tứ giác ABCD có A^+C^=180° hoặc B^+D^=180° thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng các góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp. Xét hình vẽ: Nếu A^+C^=180° => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của một đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp. Xét hình vẽ: Nếu D1^=B^ => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. - Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta xác định được) là tứ giác nội tiếp, điểm cách đều đó là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác. Xét hình vẽ: Nếu OA = OB = OC = OD => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Điểm O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc α không đổi là tứ giác nội tiếp. Xét hình vẽ: Nếu DAC^=DBC^ => Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay ABCD là tứ giác nội tiếp. II. Dạng bài tập Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể dùng một trong bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° . Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng các đều 1 điểm. Cách 3: Chứng minh hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh đó một góc không đổi. Các 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và F. Chứng minh tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp. Lời giải: Ta có: MDC^ là góc nội tiếp chắn cung MC⏜ ⇒MDC^=12sđ MC⏜ (định lí) Mà MC⏜=MB⏜+BC⏜ Nên ⇒MDC^=12 (sđ MB⏜ + sđ BC⏜ ) (1) Lại có CPB^ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn ⇒CPB^=12(sđ BC⏜ + sđ MA⏜ ) (2) Lạ có M là điểm chính giữa cung AB sđ MA⏜ = sđ MB⏜ (định lý) (3) Từ (1); (2); (3) ⇒CPB^=MDC^ Xét tứ giác PEDC có: Mà góc CPB^ là góc ngoài của đỉnh P và đỉnh P và D là hai đỉnh đối diện nhau Do đó: tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết). Ví dụ 2: Cho tam gác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp. Lời giải: Vì BM là đường cao của tam giác ABC nên AMB^=BMC^=90° Vì CN là đường cao của tam giác ABC nên ANC^=BNC^=90° Xét tứ giác AMHN có: AMB^+ANC^=90°+90°=180° Mà góc AMB^ và ANC^ là hai góc đối nhau Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết). Xét tứ giác BNMC có: BMC^=BNC^=90° Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90° Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp. Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thuộc cùng một đường tròn Phương pháp giải: Ta chia các điểm đó thành các tứ giác, tam giác sau đó chứng minh cho các tứ giác, tam giác đó cùng nội tiếp một đường tròn. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. Lời giải: Vì E là hình chiếu của D lên BC nên DE⊥BC⇒DEB^=90° Gọi O là trung điểm của BD. Xét tam giác DEB vuông tại E, trung tuyến EO ta có: OE = OD = OB = 12 BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1) Xét tam giác ABD vuông tại A, trung tuyến AO ta có: AO = OD = OB = 12BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1) Vì E đối xứng với F qua BD nên EF⊥BD . Gọi giao điểm của EF với BD là G. Vì E đối xứng với F qua BD nên EG = GF. Xét tam giác DGF và tam giác DGE có: GF = GE DG chung DGF^=DGE^=90° Do đó ΔDGF=ΔDGE (c – g – c) ⇒DF=DEFDG^=EDG^(các cặp cạnh tương ứng và các cặp góc tương ứng) Xét FDB và tam giác EDB có: BD chung DF = DE (chứng minh trên) FDG^=EDG^ (chứng minh trên) Do đó ΔFDB=ΔEDB (c – g – c) ⇒DFB^=DEB^=90° Xét tam giác FDB vuông tại F, trung tuyến FO ta có: FO = OD = OB = 12 BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (3) Từ (1); (2); (3) ta có: OA = OB = OD = OE = OF = 12 BC Do đó 5 điểm A, B, D, E, F cách đều O. Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp đi qau 5 điểm A, B, D, E, F. Ví dụ 2: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn. Lời giải: Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA. ⇒SAO^=90° Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB. ⇒SBO^=90° Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất) ⇒SOI^=90° Gọi trung điểm của SO là K. Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO ⇒OK=KS=AK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1) Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO ⇒OK=KS=BK=12SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2) Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO ⇒OK=KS=IK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3) Từ (1); (2); (3) ⇒OK=KS=IK=AK=BK=12SO Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K. Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS. Dạng 3: Sửng dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, vuông góc… Xem thêm: Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp. Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
Lời giải:
Vì CK vuông góc với AE tại K ⇒AKC^=90° Xét tứ giác AKCH có: AKC^+CHA^=90°+90°=180° Mà hai góc này ở vị trí đối nhau Do đó tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp.
⇒ADB^=90° Xét tam giác ABD vuông tại D, đường cao DH ta có: AH.AB=AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒KHC^=KAC^ (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KC) Lại có KAC^=EDC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC⏜) Do đó: EDC^=KHC^ Mà hai góc này ở vị trí đồng vị với nhau Do đó KH // DF Mặt khác AB vuông góc với CD tại H nên H là trung điểm của CD (tính chất) Vì H là trung điểm của CD, KH // DF do đó K là trung điểm của CF (tính chất) Xét tam giác ACF có: AK vuông góc với CF K là trung điểm của CF Do đó AK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ACF \=> Tam giác ACF là tam giác cân tại A. Ví dụ 2: Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng với O và A). Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, A và E thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ d. Chứng minh:
Lời giải:
⇒OEN^=90° Vì MN vuông góc với AB nên NMO^=90° Xét tứ giác ENOM có: OEN^=NMO^=90° Mà hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh ON Do đó tứ giác ENOM là tứ giác nội tiếp \=> bốn điểm E, N, O, M cùng thuộc một đường tròn.
NEC^ là góc nội tiếp chắn cung NC⏜ Do đó NBE^=NEC^ Xét tam giác NEC và tam giác NBE có: N^ chung NEC^=NBE^ Do đó: ΔNEC∽ΔNBE (g – g) ⇒NENB=NCNE (hai cặp cạnh tương ứng) Hay NE2=NB.NC
⇒NCH^=90° Xét tam giác HCN và tam giác BMN có: NCH^=NMB^=90° N^ chung Do đó ΔHCN∽ΔBMN (g – g) ⇒NCNM=NHNB (hai cạnh tương ứng) ⇒NC.NB=NM.NH Theo cấu b ta có: NC.NB=NE2 Do đó: NE2=NM.NH ⇒NENM=NHNE Xét hai tam giác NEH và tam giác NME có: N^ chung NENM=NHNE Do đó ΔNEH∽ΔNME (c – g – c) ⇒NEH^=NME^(hai góc tương ứng). III. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) cắt (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O’) cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh:
Bài 2: Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) với đường kính AB sao cho cung AC⏜ lớn hơn cung BC⏜ (B≠C ). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt dây AC tại D. Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp. Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kỳ (H không trùng O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường (O) ở C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh các tứ giác MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp. Bài 4: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp. Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng xy song song với BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp. Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; BE cắt CF tại H.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E.
Bài 10: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài dường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC.
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định. Điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua M kẻ hai tếp tuyến MA và MB tới đường tròn, A, B là các tiếp điểm (A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm của CD. Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B). Nối OM cắt AB tại H.
Bài 12: Cho đường tròn (O; R), hai điểm C, D thuộc đường tròn, B là điểm chỉnh giữa của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối S với C cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H. Chứng minh:
Bài 13: Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E khác C, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh:
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc với AC tại I.
Tứ giác ABCD nói tiếp khi nào?Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc ngoài đối diện góc đó. Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó. Ví dụ như: Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Làm sao để biết tứ giác nội tiếp?Dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp gồm:. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định tức là tồn tại điểm O sau cho OA = OB = OC = OD.. Một hình tứ giác có hai góc đối tổng bằng 180 độ.. Một hình tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.. Như thế nào là góc nội tiếp?Trong hình học, góc nội tiếp (tiếng Anh:Inscribed angle) là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa 2 dây cung của đường tròn đó. Còn cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Hai đỉnh đối diện là gì?Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó: + Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường. |