Cách chứng minh hàm hằng

Đề bài: Cho hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện${(f(x) f(y))^2} \le |x-y|^3 \forall x,y \in R$ (1)Chứng minh rằng $f(x)$ có đạo hàm trên $R$ và $f(x) = C$, trong đó $C$ là một hằng số

Lời giải

Từ $(1)$ với $x \ne y$ ta có: $\left| {\frac{{f(x) f(y)}}{{x y}}} \right| \le {\left| {x y} \right|^{1/2}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to y} \left| {\frac{{f(x) f(y)}}{{x y}}} \right| \le \mathop {\lim }\limits_{x \to y} {\left| {x y} \right|^{1/2}} = 0$
Tức là hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm, hơn nữa $f'(x) = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}$
$\Rightarrow {\rm{f(x)}} = C$ trong đó $C$ là một hằng số.