Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường tròn \[[C]\] có phương trình \[x^2+y^2-2x+4y-4=0\]. Tìm ảnh của \[[C]\] qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec v=[-2;5]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm tâm của đường tròn mới bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho điểm \[M[x;y]\] và vectơ \[\vec v[a;b]\]. Gọi điểm \[M=[x;y]=T_{\vec v}[M]\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\].
Bán kính của đường tròn sau khi tịnh tiến vẫn giữ nguyên.
Lời giải chi tiết
Ta thấy \[[C]\]là đường tròn tâm \[I[1;-2]\], bán kính \[r=3\].
Gọi \[I=T_{\vec v}[I]\] \[=[1-2;-2+5]=[-1;3]\]
\[[C]\]là ảnh của \[[C]\] qua \[T_{\vec v}\]thì \[[C]\]là đường tròn tâm \[[I]\]bán kính \[r=3\].
Do đó \[[C]\]có phương trình \[{[x+1]}^2+{[y-3]}^2=9\].
Cách khác:
Biểu thức tọa độ của \[{T_{\overrightarrow v }}\] là
\[\left\{ \begin{array}{l}x' = x - 2\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 5\end{array} \right.\]
Thay vào phương trình của [C] ta được
[x + 2]2+ [y 5]2 2[x + 2] + 4[y 5] 4 = 0
x2+ y2+ 2x 6y + 1 = 0
[x + 1]2+ [y 3]2= 9
Do đó [C'] có phương trình [x + 1]2+ [y 3]2= 9.