Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \[BM \bot AC[M \in AC],CN \bot AB[N \in AB].\]
a] Chứng minh rằng \[\Delta BMC = \Delta CNB.\]
b] Gọi I là giao điểm của BM với CN. Chứng minh rằng \[\Delta AIN = \Delta AIM.\]
c] AI cắt BC tại H, biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính AH.
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác BMC vuông tại M và CNB vuông tại N có:
BC là cạnh chung.
\[\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\] [tam giác ABC cân tại A]
Do đó: \[\Delta BMC = \Delta CVB\] [cạnh huyền - góc nhọn]
b] Ta có: AN + NB = AB và AM + MC = AC.
Mà AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
Nên AN + NB = AM + MC.
Vì BN = MC \[[\Delta BMC = \Delta CNB]\]
Nên AN = AM.
Xét tam giác ANI vuông tại N và AMI vuông tại M ta có:
AI là cạnh chung.
AN = AM [chứng minh trên]
Do đó: \[\Delta ANI = \Delta AMI\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông].
c]Xét tam giác ABH và ACH ta có:
AB = AC [tam giác ACB cân tại A]
AH là cạnh chung.
\[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}[\Delta ANI = \Delta AMI]\]
Do đó: \[\Delta ABH = \Delta ACH[c.g.c] \Rightarrow BH = CH;\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\]
Do đó: \[BH = CH = {{BC} \over 2} = {{12} \over 2} = 6[cm].\]
\[\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\] [hai góc kề bù]
Nên \[\widehat {AHB} + \widehat {AHB} = {180^0}[\widehat {AHB} = \widehat {AHC}] \Rightarrow 2\widehat {AHB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\]
Tam giác ABH vuông tại H \[\Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\] [định lí Pythagore].
Do đó: \[A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64.\]
Mà AH > 0. Vậy \[AH = \sqrt {64} = 8[cm].\]