Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn [AB < AC]. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.
a] Chứng minh rằng \[\Delta ABH = \Delta MBH.\]
b] Chứng minh rằng \[\widehat {BAC} = \widehat {BMC}.\]
c] Gọi I là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia IA lấy điểm N sao cho I là trung điểm của AN. Chứng minh rằng NC = BM.
d] Cho AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính độ dài của cạnh AC, BC.
Lời giải chi tiết
a]Xét hai tam giác ABH và MBH ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {MHB}[ = {90^0}]\]
AH = MH [H là trung điểm của AM]
BH là cạnh chung.
Do đó: \[\Delta ABH = \Delta MBH[c.g.c]\]
b] Ta có: \[\Delta ABH = \Delta MBH\] [chứng minh câu a]
Suy ra: AB = MB và \[\widehat {ABH} = \widehat {MBH}.\]
Xét hai tam giác ABC và MBC ta có:
BC là cạnh chung
\[\widehat {ABC} = \widehat {MBC}[cmt]\]
AB = BM [chứng minh trên]
Do đó: \[\Delta ABC = \Delta MBC[c.g.c] \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BMC}.\]
c] Xét tam giác ABI và NCI ta có:
AI = NI [I là trung điểm của AN]
\[\widehat {AIB} = \widehat {CIN}\] [hai góc đối đỉnh]
BI = CI [I là trung điểm của BC]
Do đó: \[\Delta ABI = \Delta NCI[c.g.c] \Rightarrow AB = CN.\]
Mà AB = BM [chứng minh câu b] nên CN = BM.
d] Tam giác ABH vuông tại H \[\Rightarrow B{H^2} + A{H^2} = A{B^2}\] [định lí Pythagore]
\[B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {13^2} - {12^2} = 169 - 144 = 25.\]
Mà BH > 0. Do đó: \[BH = \sqrt {25} = 5[cm].\]
Tam giác AHC vuông tại H \[\Rightarrow A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\] [định lí Pythagore]
Do đó: \[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400.\]
Mà AC > 0 nên \[AC = \sqrt {400} = 20[cm]\]
Mặt khác BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 [cm].