Đề bài
a] So sánh\[ \sqrt{25 + 9}\]và\[ \sqrt{25} + \sqrt{9}\];
b] Với \[a > 0\] và \[b > 0\], chứng minh\[ \sqrt{a + b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai:
\[a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\], với \[a,\ b \ge 0\].
+] Sử dụng các công thức: với \[a ,\ b \ge 0\] , ta có:
\[[\sqrt{a}]^2=a\].
\[\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\].
Lời giải chi tiết
a]Ta có:
\[+] \sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\].
\[+] \sqrt{25} + \sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3\]
\[=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}\].
Vì \[34 0,\ b > 0\] nên \[\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0\]
\[\Leftrightarrow [a+b] +2\sqrt{ab} > a+b\]
\[\Leftrightarrow [\sqrt{a}+\sqrt{ b}]^2 > [\sqrt{a+b}]^2\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\] [đpcm]