Đề bài
Cho biểu thức \[A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} \] và \[B = \sqrt {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right]} \].
a] Tìm x để A và B có nghĩa.
b] Với giá trị nào của x thì A = B ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Biểu thức: \[\sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định \[ \Leftrightarrow f\left[ x \right] \ge 0.\]
+] Giải phương trình \[A = B\] để tìm \[x,\] sau đó đối chiếu với điều kiện để kết luận giá trị của \[x.\]
Lời giải chi tiết
a] Biểu thức \[A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} \] có nghĩa \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ge 3\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow x \ge 3.\]
Biểu thức \[B = \sqrt {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right]} \] có nghĩa \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \le 0\\x - 3 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 2\end{array} \right..\]
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}A = B \\\Leftrightarrow \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} = \sqrt {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right]} \\ \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = \left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow A = B\] với mọi \[x\] thỏa mãn \[A,\;\;B\] xác định \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\]
Vậy với \[x \ge 3\] thì \[A = B.\]