Chứng minh \[{v_n} = {3^n} - n\] với mọi \[n \ge 1.\] [1]bằng phương pháp quy nạp.
Đề bài
Cho dãy số \[[{v_n}]\] , xác định bởi
\[{v_1} = 2\]và \[{v_{n + 1}} = 3{v_n} + 2n - 1\] với mọi \[n \ge 1.\]
Chứng minh rằng \[{v_n} = {3^n} - n\] với mọi \[n \ge 1.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Lời giải chi tiết
Chứng minh \[{v_n} = {3^n} - n\] với mọi \[n \ge 1.\] [1]bằng phương pháp quy nạp.
Với \[n=1\], ta có\[{v_1} = 2={3^1} - 1\]
Giả sử [1] đúng với \[n=k\], ta chứng minh [1] đúng với \[n=k+1\].
Ta có\[{v_k} = {3^k} -k\] với mọi \[n \ge 1.\]
\[{v_{k + 1}} = 3{v_k} + 2k - 1\]
\[ = 3[{3^k} - k] + 2k - 1 = {3^{k + 1}} - [k + 1]\]
Suy ra [1] đúng với\[n=k+1\]
Vậy\[{v_n} = {3^n} - n\] với mọi \[n \ge 1.\]