Thiết diện hai mặt phẳng song song
|
Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) // (β) hay (β)//(α). (α) // (β) ⇔ (α) ∩ (β) = Ø II. ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) thì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β).  2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α). Hệ quả 2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3 Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α). 3. Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Hệ quả Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. 4. Định lí Ta-lét (Thalès) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH CHÓP CỤTCho hai mặt phẳng song song (α) và (α’). Trên (α) cho đa giác lồi . Qua các đỉnh ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (α’) lần lượt tại . Hình gồm hai đa giác , và các hình bình hành được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là (h.2.14). Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Cho hình chóp . Một mặt phẳng không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh lần lượt tại . Hình tạo bởi tiết diện và đáy của hình chóp cùng với các tứ giác gọi là hình chóp cụt, kí hiệu là (h.2.15). B. DẠNG TOÁN CƠ BẢNVấn đề 1Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau 1. Phương pháp giải a) Ta có thể chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba. b) Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. 2. Ví dụ Ví dụ. Cho hình bình hành ABCD. Từ các đỉnh A, B, C và D lần lượt kẻ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz và Dt song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh mặt phẳng (Ạx, Bỵ) song song với mặt phẳng (Cz, Dt). Giải Ta có Cz // By nên Cz // (Ax, By) (h 2.16). Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD // AB do đó CD // (Ax, By). Mặt phẳng (Cz, Dt) chứa hai đường thẳng cắt nhau Cz, CD cùng song song với (Ax, By) nên (Cz, Dt) // (Ax, By). Vấn đề 2Xác định thiết diện tạo bỏi mặt phẳng (α) vối một hình chóp khi cho biết (α) song song với một mặt phẳng nào đó trong hình chóp 1. Phương pháp giải a) Áp dụng. Khi (α) song song với một mặt phẳng (β) nào đó thì (α) sẽ song song với tất cả đường thẳng nằm trong (β). b) Để xác định giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp, ta làm như sau :
2. Ví dụ Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD. Giải Ta thấy rằng tứ giác BEDC là hình bình hành vì: Trường hợp 1. I thuộc đoạn AO và I khác O. Gọi vị trí này là , (α) // (SBE) nên (α) // BE và (α) // SO (h.2.18).
Ta có thiết diện là tam giác . Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC và I khác O. Gọi vị trí này là , (α) II (SBE) nên (α) // BE và (α) // SO.
Do (α) // CD (vì CD // BE) nên (α) sẽ cắt hai mặt phẳng (.BEDC) và (SDC) theo hai giao tuyến , PQ cùng song song với CD (P ∈ SD). Ta có thiết diện là hình thang . Trường họp 3. I ≡ O. ‘ Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE. C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP2.22. Cho tứ diện Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng () // (BCD). ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.23. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, Bỵ, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’. a) Chứng minh rằng (Ax, By) // (Cz, DO và (Ax, Dt) // (Zfy, Cz). b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì ? c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’. ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.24. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh a) (ẠDF) // (BCE). b) M’N // DF. c) (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF). ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.25. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’ tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’. a) Chứng minh rằng AI // A’I’. b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’). c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC). ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.26. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. a) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’). b) Tìm giao tuyến d của (.AB’C’) và (ABC). ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.27. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãỵ chỉ ra mặt phẳng cố định đó. ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.28. Cho hình chóp ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < x < α). Lấy (a) là mặt phẳng đi qụa I và song song với mặt phẳng (SBD). a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD. b) Tim diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất. ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.29. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) song song với nhau. Hai đường thẳng a và a’ cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A’, B’, C’. Cho AB = 5, BC = 4, A’C’ = Tính độ dài A’B’, B’C’.. ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.30. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD ⇒ Xem đáp án tại đây. 2.31. Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi (α) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt (α) tại M’. a) Tìm tập hợp điểm M’. b) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN. ⇒ Xem đáp án tại đây. Related |
