Để chứng minh hai mặt phẳng [P] và [Q] vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh
+ Một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] vuông góc với mặt phẳng [Q] hoặc ngược lại, một đường thằng nào đó nằm trong mặt phẳng [Q] và vuông góc với mặt phẳng [P].
+ Góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q] bằng 90°.
Bài tập chứng minh hai mặt phảng vuông có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và $SA\bot [ABC].$
a] Chứng minh $[SBC]\bot [SAB]$ b] Gọi AH và AK lần lượt là đường cao trong tam giác SAB và SAC. Chứng minh $[SBC]\bot [AKH].$ c] Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh $[SAD]\bot [SAC]$ |
Lời giải chi tiết
a] Do $SA\bot [ABC]\Rightarrow SA\bot BC$
Tam giác ABC vuông tại B nên $AB\bot BC$
Do đó $BC\bot [SAB]\Rightarrow [SBC]\bot [SAB]$
b] Ta có: $BC\bot [SAB]\Rightarrow BC\bot AH$
Mặt khác $AH\bot SC\Rightarrow AH\bot [SBC]\Rightarrow [AHK]\bot [SBC]$
c] Ta có: $AH\bot [SBC]\Rightarrow AH\bot SC$
Mặt khác $AK\bot SC\Rightarrow SC\bot [AHK]$ hay $SC\bot [AKD]$
Suy ra $AD\bot SC$ mà $SA\bot AD\Rightarrow AD\bot [SAC]$
Do vậy $[SAD]\bot [SAC]$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng [BCD]. Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng [ACD] vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a] Chứng minh mặt phẳng [ADC] vuông góc với mặt phẳng [ABE] và mặt phẳng [ADC] vuông góc với mặt phẳng [DFK] b] Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng [ACD] |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BE\bot CD \\ {} AB\bot CD \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot [ABE]$
mà $CD\subset \left[ ADC \right]\Rightarrow \left[ ADC \right]\bot \left[ ABE \right]$
Lại có: $\left\{ \begin{array} {} DF\bot BC \\ {} DF\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow DF\bot [ABC]\Rightarrow DF\bot AC$
Mặt khác $DK\bot AC\Rightarrow AC\bot [DKF]\Rightarrow [ACD]\bot [DFK]$
b] Do $CD\bot [ABE]\Rightarrow CD\bot AE$
Ta có : $\left\{ \begin{array} {} [ACD]\bot [ABE] \\ {} [ACD]\bot [DFK] \\ {} OH=[ABE]\cap [DFK] \\ \end{array} \right.\Rightarrow OH\bot [ACD]$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và BD = a. Biết cạnh $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$và vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Chứng minh rằng:
a] $[SAC]\bot [SBD]$ b] $[SCD]\bot [SBC]$ |
Lời giải chi tiết
a] Do $SA\bot [ABCD]\Rightarrow SA\bot BD$
Mặt khác ABCD là hình thoi nên $AC\bot BD$
Do đó $BD\bot [SAC]\Rightarrow [SBD]\bot [SAC]$
b] Dựng $OH\bot SC$
Do $BD\bot [SAC]\Rightarrow BD\bot SC$
Suy ra $SC\bot [DHB]$
Như vậy $\widehat{DHB}$là góc giữa hai mặt phẳng [SCD] và [SBC]
Tam giác ABD đều cạnh a nên $AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$
Dựng $AK\bot SC\Rightarrow AK=\frac{SA.OC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+O{{C}^{2}}}}=a\Rightarrow OH=\frac{AK}{2}=\frac{a}{2}$
Tam giác DHB có đường trung tuyến$HO=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}\Rightarrow \Delta DHB$ vuông tại H hay $\widehat{DHB}={{90}^{\circ }}$
Do đó $[SCD]\bot [SBC]$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, $AD=a\sqrt{2}$, SA = a và $SA\bot [ABCD]$. Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng $[SAC]\bot [SMB]$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Mặt khác $\tan \widehat{AMB}=\frac{AB}{AM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$
Do $\tan \widehat{CAD}=\cot \widehat{AMB}\Rightarrow \widehat{CAD}+\widehat{AMB}={{90}^{\circ }}$
Suy ra $\widehat{AIM}={{90}^{\circ }}\Rightarrow AC\bot BM$tại I
Mặt khác $SA\bot [ABCD]\Rightarrow SA\bot BM$
Do đó $BM\bot [SAC]\Rightarrow [SMB]\bot [SAC]$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Biết $SA=SB=a\sqrt{2}$
a] Chứng minh rằng $SH\bot \left[ ABCD \right]$ b] Chứng minh tam giác SBC vuông. c] Chứng minh $[SAD]\bot [SAB];[SAD]\bot [SBC].$ |
Lời giải chi tiết
a] Do ∆SAB cân tại S nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra $SH\bot AB$
Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} [SAB]\bot [ABCD] \\ {} AB=[SAB]\bot [ABCD] \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot [ABCD]$
b] Do $SH\bot [ABCD]\Rightarrow SH\bot BC$
Mặt khác $BC\bot AB\Rightarrow BC\bot [SAB]\Rightarrow \Delta SBC$vuông tại B.
c] Tương tự câu b ta chứng minh được $AD\bot [SAB]$ suy ra $[SAD]\bot [SAB]$
Mặt khác $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow \Delta SAB$vuông tại S $\Rightarrow SA\bot SB$
Lại có: $AD\bot [SAB]\Rightarrow AD\bot SB\Rightarrow SB\bot [SAD]\Rightarrow [SBC]\bot [SAD]$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD.
a] Chứng minh $[SAD]\bot [SAB]$ b] Chứng minh $AM\bot BP$ và $[SBP]\bot [AMN]$ |
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là trung điểm của AD
Do ∆SAD cân tại S nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra $SH\bot AD$
Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} [SAD]\bot [ABCD] \\ {} AD=[SAD]\bot [ABCD] \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot [ABCD]$
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} SH\bot AB \\ {} AB\bot AD \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot [SAD]\Rightarrow [SAB]\bot [SAD]$
b] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} MN//SC \\ {} AN//HC \\ \end{array} \right.\Rightarrow [AMN]//[SHC]$
Dễ thấy $tan\widehat{BPC}=2;\tan \widehat{HCD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BPC}+\widehat{HCD}={{90}^{\circ }}\Rightarrow HC\bot BP$
Mặt khác $SH\bot BP\Rightarrow BP\bot [SHC]$
Mà $[AMN]//[SHC]\Rightarrow BP\bot [AMN]\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} [SBP]\bot [AMN] \\ {} BP\bot AM \\ \end{array} \right.$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $SA\bot [ABCD]$
a] Chứng minh $[SAC]\bot [SBD]$ b] Chứng minh $[SAD]\bot [SCD]$ c] Gọi BE và DF là đường cao trong tam giác SBD. Chứng minh rằng $[ACF]\bot [SBC];[AEF]\bot [SAC]$ |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$
Mặt khác $SA\bot [ABCD]\Rightarrow SA\bot BD$
Do đó $BD\bot [SAC]\Rightarrow [SBD]\bot [SAC]$
b] Ta có : $\left\{ \begin{array} {} AD\bot AB \\ {} AD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot [SAB]$
Do đó $[SAD]\bot [SAB]$
c] Ta có : $AD\bot [SAB]\Rightarrow AD\bot SB$
Mặt khác $DF\bot SB\Rightarrow [ADF]\bot SB\Rightarrow AF\bot SB$
Lại có : $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot [SAB]\Rightarrow BC\bot AF$
Do đó $AF\bot [SBC]\Rightarrow [ACF]\bot [SBC]$
Dễ thấy tam giác SBD cân tại S có 2 đường cao BE và DF nên EF//BD
Mặt khác $BD\bot [SAC]$[Chứng minh ở câu a] suy ra $EF\bot [SAC]\Rightarrow [\text{AEF]}\bot [SAC]$
Cách khác: Ta có $AF\bot [SBC]\Rightarrow AF\bot SC$
Chứng minh tương tự ta cũng có: $AE\bot SC$ suy ra $SC\bot [AEF]\Rightarrow [SAC]\bot [AEF]$
| Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với [ABC].
a] Chứng minh $[ABB']\bot [ACC']$ b] Gọi AH, AK là các đường cao của ∆ABC và ∆AB’C’. Chứng minh [BCC’B’] và [AB’C’] cùng vuông góc với [AHK]. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $CC'\bot [ABC]\Rightarrow CC'\bot AB$
Mặt khác $AB\bot AC\Rightarrow AB\bot [ACC']\Rightarrow [ABB']\bot [ACC']$
b] Do $AH\bot BC,BB'\bot [ABC]\Rightarrow BB'\bot AH$
Suy ra $AH\bot [BCC'B']\Rightarrow [AHK]\bot [BCC'B']$
Mặt khác $AH\bot [BCC'B']\Rightarrow AH\bot B'C'$
Lại có: $AK\bot B'C'\Rightarrow B'C'\bot [AHK]\Rightarrow [AHK]\bot [AB'C']$
| Bài tập 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a; BC = $a\sqrt{3}$, cạnh bên CC’ = 2a. Điểm M là trung điểm của cạnh AA’.
a] Chứng minh $[ABB'A']\bot [BCC'B']$ và $BM\bot C'M$ b] Tính cosin góc giữa mặt phẳng [BMC’] và mặt đáy [ABC] |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên $BB'\bot AB$
Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại B nên $AB\bot BC$
Do đó $AB\bot [BCC'B']\Rightarrow [ABB'A']\bot [BCC'B']$
$\begin{array} {} BM=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}}=a\sqrt{2};BC'=\sqrt{B{{C}^{2}}+CC{{'}^{2}}}=a\sqrt{7}; \\ {} C'M=\sqrt{A'C{{'}^{2}}+A'{{M}^{2}}}=a\sqrt{5} \\ \end{array}$
Do $C'{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}=BC{{'}^{2}}\Rightarrow \Delta BMC'$ vuông tại M hay $BM\bot C'M$
b] Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Diện tích tam giác MBC’: ${{S}_{MBC'}}=\frac{1}{2}MB.MC'=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Gọi φ là góc giữa mặt phẳng [BMC’] và mặt đáy [ABC]
Do ∆ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác MB’C’ trên mặt phẳng [ABC] nên:
${{S}_{ABC}}={{S}_{MBC'}}cos\varphi \Rightarrow cos\varphi =\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{MBC'}}}=\sqrt{\frac{3}{10}}$