search

Chuyên đề chia hết và đồng dư toán 9 năm 2024

Ngày đăng: 01/07/2024
Trả lời: 0
Lượt xem: 122

Công ty TNHH Dịch vụ Giáo dục và Công Nghệ Việt Nam - MST 01068170636

TSC: Số 10D, Ngõ 325/69/14, phố Kim Ngưu, phường Thanh Lương, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

VP: Số 23 ngõ 26 Nguyên hồng, Láng Hạ, Đống Đa, HN

SĐT: 0932.39.39.56

Phản hồi qua: [email protected]

Chuyên đề chia hết và đồng dư toán 9 năm 2024
Chuyên đề chia hết và đồng dư toán 9 năm 2024

Chuyên đề chia hết và đồng dư toán 9 năm 2024

  • 1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group C Á C C H U Y Ê N Đ Ề S Ố H Ọ C Ô N T H I C H U Y Ê N Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection CÁC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI CHUYÊN – BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 – NĂM 2023 (15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC) WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL [email protected] vectorstock.com/28062405
  • 2. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: 15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC 1. Phương pháp phân tích nhân tử kết hợp với tính chất chia hết 2. Phương pháp tách tổng kết hợp với dấu hiệu chia hết của các số 3. Sử dụng tính chất chia hết của các số chính phương, số nguyên tố 4. Sử dụng hằng đẳng thức dạng lũy thừa 5. Phương pháp chia trường hợp theo số dư 6. Phương pháp phản chứng 7. Phương pháp chẵn lẻ 8. Tìm giá trị của biến để biểu thức chia hết cho một số hoặc một biểu thức 9. Phương pháp sử dụng nguyên lý Đirichle 10. Phương pháp sử dụng lý thuyết đồng dư 11. Phương pháp xét chữ số tận cùng 12. Chứng minh không chia hết cho một số 13. Phương pháp nguyên lý quy nạp toán học 14. Phương pháp sử dụng định lý Fecma nhỏ 15. Bài toán chia hết liên quan đến đa thức
  • 3. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: 15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC PHẦN 1: TỪ PHƯƠNG PHÁP 1 ĐẾN PHƯƠNG PHÁP 3 I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ KẾT HỢP VỚI TÍNH CHẤT CHIA HẾT 1.1. Phương pháp chung - Để chứng minh biểu thức ( ) P n , n∈ chia hết cho số nguyên a ta đi phân tích ( ) P n thành nhân tử rồi chứng minh có một nhân tử chia hết cho a , từ đó suy ra ( ) P n chia hết cho a. - Trong thực tế số a thường là hợp số, khi đó ta phân tích a thành tích các thừa số nguyên tố rồi chứng minh ( ) P n lần lượt chia hết cho các thừa số của a . Quy tắc 1: Nếu 1 2 ( ) ( ). ( ) P n P n P n = trong đó ( ) 1 1 ( ) ( ) . ( ) P n a P n a b P n b  ⇒      . Quy tắc 2: Nếu ( ) ( ) P n a P n b      và ( ) , 1 a b = thì ( ) ( ) . P n a b  . Chú ý: ( ) , 1 a b = có nghĩa a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ: (3, 4) = 1. 1.2. Dấu hiệu chia hết cơ bản  Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên có chữ số tận cùng là số chẵn thì chia hết cho 2.  Dấu hiệu chia hết cho 3: Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3.  Dấu hiệu chia hết cho 4: Số tự nhiên có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì sẽ chia hết cho 4. Ví dụ: Số 52312 chia hết cho 4.  Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì sẽ chia hết cho 5.  Dấu hiệu chia hết cho 6: - Số tự nhiên vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 6. - Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có chữ số tận cùng là số chẵn thì sẽ chia hết cho 6.  Dấu hiệu chia hết cho 7: - TH1: Nếu một số tự nhiên có 2 chữ số và ta lấy chữ số hàng chục nhân với 3 rồi cộng với chữ số hàng đơn vị. Nếu kết quả này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7. Ví dụ: Số 49 có 4.3 + 9 = 21 chia hết cho 7 nên 49 chia hết cho 7. - TH2: Nếu một số tự nhiên có 3 chữ số và ta lấy chữ số hàng trăm nhân với 3 rồi cộng với chữ số chục, tiếp tục lấy kết quả trên nhân 3 rồi cộng với chữ số hàng đơn vị. Nếu kết quả cuối cùng chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
  • 4. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: Ví dụ: Số 349 có 3.3 + 4 = 13, ta có 13.3 + 9 = 48 không chia hết cho 7 nên 349 không chia hết cho 7. - Các trường hợp số có 4, 5, 6, … chữ số ta làm tương tự.  Dấu hiệu chia hết cho 8: Số tự nhiên có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì sẽ chia hết cho 8.  Dấu hiệu chia hết cho 9: Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 9.  Dấu hiệu chia hết cho 10: Số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì sẽ chia hết cho 10.  Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên có hiệu số giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn là số chia hết cho 11 thì sẽ chia hết cho 11. Ví dụ: Các số 8294; 7381; 923164 đều chia hết cho 11. 1.3. Một số tính chất chia hết cơ bản - Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. - Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. - Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. - Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. - Tích của 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720. - Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. - Tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48. 1.4. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n∈ và n lẻ thì ta luôn có 3 2 9 23 15 n n n + + + chia hết cho 48. Giải +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 9 23 15 8 8 15 15 1 8 1 15 1 P n n n n n n n n n n n n n = + + + = + + + + + = + + + + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 8 15 1 3 5 5 ( 1)( 3)( 5) n n n n n n n n n n   = + + + = + + + + = + + +   +) Vì n lẻ 2 1, n k k = + ∈ do đó 3 (2 2)(2 4)(2 6) 2 ( 1)( 2)( 3) P k k k k k k = + + + = + + + Vì ( 1)( 2)( 3) k k k + + + là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên 3 3 ( 1)( 2)( 3) 6 2 ( 1)( 2)( 3) 2 .6 48 48 k k k k k k P + + + ⇒ + + + = ⇒    ,(đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng với n là số chẵn lớn hơn 4 thì 4 3 2 ( ) 4 4 16 P n n n n n = − − + chia hết cho 384. Giải +) Ta có ( ) ( )( ) ( ) 3 2 ( ) 4 4 16 4 2 2 P n n n n n n n n n = − − + = − − +
  • 5. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: +) Vì n chẵn nên 2 , n k k = ∈ . Khi đó ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 .2 . 2 2 16. 2 1 . 1 P n k k k k k k k k = − − + = − − + Vì ( )( ) ( ) 2 1 . 1 k k k k − − + là tích của 4 số nguyên liên tiếp ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 . 1 24 16 2 1 . 1 (24.16) 384 ( ) 384. k k k k k k k k P n ⇒ − − + ⇒ − − + = ⇒    Ví dụ 3. Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng 1 mn m n − − + chia hết cho 192. Giải +) Ta có ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 P mn m n m n n m n = − − + = − − − = − − +) Vì m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp nên gọi ( ) 2 2 1 , m k k = − ∈ thì ( ) 2 2 1 . n k = + Khi đó ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 4 4 4 16 1 1 P k k k k k k k k k k     = − − + − = − + = − +     +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 1 . 1 4 1 2 k k k k k k k k −   ⇒ − +  +      , (*) Mặt khác ( ) ( ) 1 . . 1 3,(**) k k k − +  Từ (*) và (**) và (3, 4) = 1 ( ) ( ) 1 1 12 k k k k ⇒ − +  ( ) ( ) 16 1 1 192 k k k k ⇒ − +  , (đpcm). Ví dụ 4. Chứng minh rằng 3 2023 n n − + không chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. Giải Ta có ( ) ( )( ) 3 2 1 1 1 6 n n n n n n n − = − = − +  mà 2023 337.6 1 2023 = + ⇒ không chia hết cho 6 Do đó 3 2023 n n − + không chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của chúng chia hết cho 9. Giải Cách 1 +) Gọi 2 số nguyên đó là , a b. Theo giả thiết ta có 3 a b +  . +) Ta có ( )( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b + = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 a b a ab b ab a b a b ab     = + + + − = + + −     Ta có ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 a b a b a b ab + ⇒ + ⇒ + − ⇒    ( ) ( ) 2 3 a b a b ab   + + −   9  3 3 9 a b ⇒ +  , (đpcm).
  • 6. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Cách 2 +) Gọi 2 số nguyên đó là , a b. Theo giả thiết ta có 3 a b +  . +) Ta có ( ) ( ) 3 3 3 3 . a b a b ab a b + = + − + Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 9 9 3 3 . 9 a b a b a b ab a b  + ⇒ +  + ⇒  +       3 3 9 a b ⇒ +  , (đpcm). Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng: 4 3 2 6 11 6 n n n n + + + chia hết cho 24, với n là số nguyên. Bài 2. Chứng minh rằng: 5 3 – 5 4 n n n + chia hết cho 120, với n là số nguyên. Bài 3. Chứng minh rằng: 4 2 –10 9 n n + chia hết cho 384 với mọi n lẻ n ∈ Z. Bài 4. Chứng minh rằng: 3 2 6 8 n n n + + chia hết cho 48 với mọi n chẵn. Bài 5. Chứng minh rằng 2 7 22 n n + + không chia hết cho 9. Bài 6. Chứng minh rằng: 2 4 3 n n + + chia hết cho 8, với mọi số nguyên lẻ n. Bài 7. Chứng minh rằng 3 2 3 –3 n n n + − chia hết cho 48, với mọi số nguyên lẻ n. Bài 8. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên mà a b c + + chia hết 6 thì ( )( )( ) P a b b c c a abc = + + + + cũng chia hết cho 6. Bài 9. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên mà a b c + + chia hết 6 thì ( )( )( ) 2 Q a b b c c a abc = + + + − cũng chia hết cho 6. Bài 10. Chứng minh rằng 6 4 2 1 n n n − − + chia hết cho 128 với n là số lẻ. 2. PHƯƠNG PHÁP TÁCH TỔNG KẾT HỢP VỚI DẤU HIỆU CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ 2.1. Phương pháp chung Quy tắc: Nếu ( ) ( ) P n a Q n a      thì . ( ) . ( ) m P n k Q n + cũng chia hết cho , a với , , , . a m n k ∈ 2.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có 3 5 a a + chia hết cho 6. Giải
  • 7. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Ta có ( ) 3 3 5 6 a a a a a + = − + Ta có ( ) ( )( ) 3 2 1 1 1 6 a a aa a a a a − = − = − +  và 6a 6  Do đó ( ) 3 3 6 6 5 6. a a a a a − + ⇒ +   Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , m n Z ∈ ta có: ( ) 2 2 6 mn m n −  Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 mn m n mn m n mn m m n n   −= − − − = − + − − +       ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 mn m m mn n n = − + − − + Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 6 1 1 1 1 6 1 1 6 m m m mn m m mn n n n n n − +   ⇒ − + − − +  − +      , (đpcm). Ví dụ 3. Chứng minh rằng 5 30 n n −  với . n Z ∈ Giải Ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 5 4 2 2 2 1 1 1 1 1 4 5 n n n n n n n n n n n   −= − = − + = − + − +   ( ) ( )( ) ( )( ) 2 4 1 1 5 1 1 n n n n n n n = − − + + − + Ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 4 1 1 2 2 1 1 120 n n n n n n n n n − − + = − + − +  (tích 5 số nguyên liên tiếp). Ta có ( )( ) 1 1 6 n n n − +  (tích của 3 số nguyên liên tiếp) ( )( ) 5 1 1 30 n n n ⇒ − +  Do đó ( ) ( )( ) ( )( ) 2 4 1 1 5 1 1 30. n n n n n n n − − + + − +  Ví dụ 4. Cho a và b là các số nguyên sao cho 2 2 a b + chia hết cho 13. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong hai số 2 3 ;2 3 a b b a + + chia hết cho 13. Giải Ta có ( )( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 6 13 a b b a a b ab + + = + + . Ta có 2 2 a b + chia hết cho 13 (gt) ( ) 2 2 6 13 a b ⇒ +  , mà 13 13 ab ( ) ( )( ) 2 2 2 3 13 6 13 13 2 3 2 3 13 2 3 13 a b a b ab a b b a b a +  ⇒ + + ⇒ + + ⇒  +      , (đpcm). Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số nguyên sao cho ( ) a b c + + chia hết cho 6. Chứng minh rằng ( ) 3 3 3 a b c + + cũng chia hết cho 6.
  • 8. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: Giải +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a a b b c c + + − + + = − + − + − +) Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 ( 1)( 1) 6 ( 1)( 1) 6 6. ( 1)( 1) 6 a a a a a b b b b b a b c a b c c c c c c  − = − +   − = − + ⇒ + + − + +   − = − +       Mà ( ) 6 a b c + +  ( ) 3 3 3 6 a b c ⇒ + +  , (đpcm). Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng với , m n Z ∈ ta có 3 11 6. n n +  Bài 2. Chứng minh rằng với , m n Z ∈ ta có ( )( ) 1 2 1 6. n n n + +  Bài 3. Chứng minh rằng 5 3 7 5 3 15 n n n + + là số nguyên với mọi . n Z ∈ Bài 4. Chứng minh với n chẵn thì 2 3 12 8 24 n n n + + là số nguyên. Bài 5. Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 2 4 3 11 a ab b + − chia hết cho 5 thì 4 4 a b − chia hết cho 5. Bài 6. Chứng minh rằng 5 5 – a b ab chia hết cho 30 với mọi a, b. Bài 7. Cho a, b ∈ N và a + 4b chia hết cho 13. Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13. Bài 8. Cho a, b ∈ N và 3a + 2b chia hết cho 17. Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17. Bài 9. Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp trong đó số ở giữa là lập phương của một số tự nhiên thì chia hết cho 504. Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n và 5 n có chữ số tận cùng giống nhau. 3. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ 3.1. Một số tính chất chia hết số chính phương, số nguyên tố Note 1: Các số chính phương: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; … Note 2: Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1 không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó. Tập các số nguyên tố là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; …  Tính chất 1: Mọi số chính phương khi chia cho 3 đều có số dư là 0 hoặc 1.  Tính chất 2: Mọi số chính phương khi chia cho 4 đều có số dư là 0 hoặc 1.
  • 9. liệu word toán SĐT (zalo): 8 Website:  Tính chất 3: Một số chính phương đã chia hết cho số nguyên tố k thì sẽ chia hết cho 2 . k - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. … 3.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Chứng minh 2 số tự nhiên có tổng bình phương chia hết cho 3 thì mỗi số đều phải chia hết cho 3. Giải Gọi 2 số tự nhiên đó là , a b. Theo giả thiết ta có 2 2 3. a b +  Vì 2 a là số chính phương 2 a ⇒ chia 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vì 2 b là số chính phương 2 b ⇒ chia 3 có số dư là 0 hoặc 1. Mà 2 2 3 a b +  2 a ⇒ chia 3 có số dư là 0 và 2 b chia 3 có số dư là 0 3 a ⇒  và 3 b , (đpcm). Ví dụ 2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2 –1 p chia hết cho 24. Giải +) Ta có 2 –1 ( 1)( 1) S p p p = = − + +) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 p ⇒ là số lẻ ( )( ) ( ) 2 1, 2 2 2 4 1 8,(*) p k k S k k k k = + ∈ ⇒ = + = +   +) Vì 2 p là số chính phương nên 2 p chia 3 dư 0 hoặc 1 mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 2 p ⇒ không chia hết cho 3 2 p ⇒ chia 3 dư 1 2 –1 3 p ⇒  , (**) +) Do (3, 8) = 1, kết hợp với (*) và (**) suy ra 2 –1 p chia hết cho 24. Ví dụ 3. Cho a, b là hai số lẻ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2 2 – a b chia hết cho 24. Giải +) Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 – 1 1 1 1 1 1 a b a b a a b b = − − − = − + − − + . +) Vì a lẻ nên ( )( ) 1 1 a a − + là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên ( )( ) 1 1 8 a a − +  , tương tự ta có ( )( ) 1 1 8 b b − +  2 2 – 8(*). a b ⇒ 
  • 10. liệu word toán SĐT (zalo): 9 Website: +) Vì 2 a là số chính phương nên 2 a chia 3 dư 0 hoặc 1 mà a không chia hết cho 3 2 a ⇒ không chia hết cho 3 2 a ⇒ chia 3 dư 1 2 –1 3 a ⇒  , tương tự ta có 2 2 – 3(**). a b ⇒  +) Do (3, 8) = 1, kết hợp với (*) và (**) suy ra 2 2 – a b chia hết cho 24. Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n +1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. Bài 2. Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 16. Bài 3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k (a, k ∈N* ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k6. Bài 4. Chứng minh rằng nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2  24. Bài 5. Cho 3 số nguyên dương a, b, c thoả a2 = b2 + c2 . Chứng minh rằng: abc chia hết cho 60. Hết
  • 11. liệu word toán SĐT (zalo): 10 Website: 15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC PHẦN 2: TỪ PHƯƠNG PHÁP 4 ĐẾN 6 4. Sử dụng hằng đẳng thức dạng lũy thừa Một số hằng đẳng thức mở rộng  ( )( ) 1 2 3 2 1 ... n n n n n n a b a b a a b a b b − − − − − = − + + + + , với *. n∈  ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 n n k k k k k k k k a b a b a b a b a b − = − = − = − + , với * n∈ và 2 n k = .  ( )( ) 1 2 3 2 1 ... n n n n n n a b a b a a b a b b − − − − + = + − + − + , với * n∈ và n lẻ. Phương pháp: 1) n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈ 2) n n a b − chia hết cho ( ) a b + , với * n∈ và n chẵn. 3) n n a b + chia hết cho ( ) a b + , với * n∈ và n lẻ. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số ( ) ( ) ( ) 5 5 1 6 3 2 n n n n n A n = + − + chia hết cho 91. Giải Ta có ( ) 25 5 18 12 n n n n A n = + − − , ta có 91 7.13 = , ta cần chứng minh ( ) 7, ( ) 13. A n A n   Ta có ( ) ( ) ( ) 25 18 12 5 n n n n A n = − − − và ( ) ( ) ( ) 25 12 18 3 n n n n A n = − − − Ta luôn có ( )( ) 1 2 3 2 1 ... n n n n n n a b a b a a b a b b − − − − − = − + + + + , với * n∈ ⇒  n n a b − chia hết cho ( ) a b − , (1). Áp dụng (1) ta có: ( ) 25 18 7 n n −  và ( ) 12 5 7 n n −  ( ) 7. A n ⇒  Áp dụng (1) ta có: ( ) 25 12 13 n n −  và ( ) 18 3 13 n n −  ( ) 13. A n ⇒  Vì (7, 13) = 1 nên suy ra ( ) 91. A n  Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( ) 25 7 4 3 5 n n n n n + − + chia hết cho 65 Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25 7 12 20 25 20 12 7 25 12 20 7 n n n n n n n n n n n n A n = + − − = − − − = − − −
  • 12. liệu word toán SĐT (zalo): 11 Website: Ta luôn có ( )( ) 1 2 3 2 1 ... n n n n n n a b a b a a b a b b − − − − − = − + + + + , với * n∈ ⇒  n n a b − chia hết cho ( ) a b − , (1). Áp dụng (1) ta có: ( ) 25 12 13 n n −  và ( ) 20 7 13 n n −  ( ) 13. A n ⇒  Áp dụng (1) ta có: ( ) 25 20 5 n n −  và ( ) 12 7 5 n n −  ( ) 5. A n ⇒  Vì (5, 13) = 1 nên suy ra ( ) 65. A n  Ví dụ 3. Với n là số tự nhiên chẵn. Chứng minh rằng: 20 16 3 1 n n n + − − chia hết cho 323. Giải Ta có 323 = 17.19, ta đi chứng minh ( ) 20 16 3 1 n n n A n = + − − chia hết cho 17 và 19. Ta có ( ) ( ) ( ) 20 3 16 1 n n n A n = − + − Áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈ Ta có ( ) 20 3 17. n n −  Áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b + , với * n∈ và n chẵn. Ta có giả thiết cho n chẵn nên ( ) 16 1 17. n −  Do đó ta có ( ) 17. A n  Ta có ( ) ( ) ( ) 20 1 16 3 n n n n A n = − + − Áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈ Ta có ( ) 20 1 19. n n −  Áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b + , với * n∈ và n chẵn. Ta có giả thiết cho n chẵn nên ( ) 16 3 19. n n −  Do đó ta có ( ) 17. A n  Vì (17, 19) = 1 nên suy ra ( ) 323. A n  Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2 2 1 5 26.5 8 n n n + + + + chia hết cho 59. Giải Ta có ( ) ( ) 25.5 26.5 8.64 51.5 8.64 59.5 8. 64 5 n n n n n n n n A n = + + = + = + − Ta có 59.5 59 n  và áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈ Ta có ( ) 64 5 59 n n −  ( ) 8. 64 5 59 ( ) 59. n n A n ⇒ − ⇒   Ví dụ 5. Cho số tự nhiên 1 n > và 2 2 . n n −  Chứng minh rằng: ( ) 2 1 2 2 2 1 . n n − − −  Giải Ta có 2 2 2 2 . , n n n k n − ⇒ − =  với . k ∈
  • 13. liệu word toán SĐT (zalo): 12 Website: Khi đó ( ) 2 1 . 2 1 . 1 . ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n k n k n k n A n − + − + = − = − = − = − Áp dụng bài toán n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 k n k n A n   = − −      , (đpcm) Ví dụ 6. Cho a, b là các số tự nhiên không chia hết cho 5. Chứng minh rằng 4 4 m m pa qb + , chia hết cho 5 khi và chỉ khi p q + chia hết cho 5 (với , , p q m N ∈ ). Chú ý: +) Ta có 5 5 30 5. a a a a − ⇒ −   +) Nếu a không chia hết cho 5 thì 4 1 5. a ⇒ −  Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 ( ) 1 1 m m m m A n pa p qb q p q p a q b p q = − + − + += − + − + + ( ) ( ) ( ) 4 4 1 1 m m p a q b p q     = − + − + +         Ta luôn có bài toán: 5 5 4 30 5 ( 1) 5 a a a a a a − ⇒ − ⇒ −    mà a không chia hết cho 5 4 1 5. a ⇒ −  Vì a, b không chia hết cho 5 nên m a và m b không chia hết cho 5. Áp dụng bài toán trên ta có ( ) 4 1 5 m a −  và ( ) 4 1 5 m b −  . Từ đó suy ra 4 4 m m pa qb + chia hết cho 5 khi và chỉ khi p q + chia hết cho 5 (đpcm). Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2 2 1 11 12 133. n n + + +  Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2 7.5 12.6 19. n n +  Bài 3. Cho 2 1 1 2 2 1 n n n a + + = + + và 2 1 1 2 2 1 n n n b + + = − + . Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên có một và chỉ một trong hai số , n n a b chia hết cho 5. Bài 4. Cho ( )( ) 1 1 10 10 ... 10 1 10 5 1 n n n A − + = + + + + + + . Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không phải là lập phương của một số tự nhiên. Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2 1 2 2 3 2 7. n n + + +  Bài 6. Chứng minh rằng với n∈, n chẵn và 2 n ≥ ta có: 3 63 72. n +  Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2 9 14 5. n +  Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 6 6 3 2 35. n n −  Bài 9. Chứng minh rằng nếu 3 n thì 2 3 3 1 13. n n + +  Bài 10. Chứng minh rằng 63 36 1 − chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37. 5. Phương pháp chia trường hợp theo số dư Phương pháp:
  • 14. liệu word toán SĐT (zalo): 13 Website: Để chứng minh P(n) chia hết cho m ta xét số n có dạng n = km +r, trong đó { } 0;1;2;...; 1 . r m ∈ − Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( ) 2022 2021 1 ab a b + + + chia hết cho 2 với , a b∈ . Giải TH1: Nếu một trong hai số a, b chia hết cho 2 thì a.b chia hết cho 2 ( ) 2022 2021 1 2. ab a b ⇒ + + +  TH2: Cả a, b đều không chia hết cho 2 nên a, b đều chia 2 dư 1 2 a b ⇒ +  mà ( ) 2022 2021 1 2 +  ( ) 2022 2021 1 2. ab a b ⇒ + + +  Vậy ( ) 2022 2021 1 ab a b + + + chia hết cho 2 với , a b∈ . Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( )( ) 2 2 2021 2024 n n n + + chia hết cho 5 với n∈ Giải TH1: n chia hết cho 5 ( )( ) 2 2 2021 2024 5 n n n ⇒ + +  TH2: n chia 5 dư 1 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 5 1, 2024 5 1 2024 25 10 2025 5 2021 2024 5 n k k n k k k n n n ⇒ = + ∈ ⇒ + = + + = + + ⇒ + +    TH3: n chia 5 dư 2 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 5 2, 2021 5 2 2021 25 20 2025 5 2021 2024 5 n k k n k k k n n n ⇒ = + ∈ ⇒ + = + + = + + ⇒ + +    Các trường hợp n chia 5 có số dư là 3, 4 ta làm tương tự. Do đó ( )( ) 2 2 2021 2024 n n n + + chia hết cho 5 với n∈ Ví dụ 3. Cho x, y, z là các số nguyên sao cho ( )( )( ) x y y z z x x y z − − − = + + . Chứng minh rằng x y z + + chia hết cho 27. Giải TH1: Nếu 3 số x, y, z chia 3 có số dư khác nhau 3 x y z ⇒ + +  Khi đó (x – y); (y – z); (z – x) đều không chia hết cho 3 nên ( )( )( ) x y y z z x − − − không chia hết cho 3 nghĩa là x y z + + không chia hết cho 3 (trái với giả sử). TH2: Nếu 3 số x, y, z chia 3 có 2 số có cùng dư: Tương tự trường hợp 1 suy trái giả sử. Do đó 3 số x, y, z chia 3 có có cùng dư suy ra (x – y); (y – z); (z – x) đều chia hết cho 3nên ( )( )( ) 27 27. x y y z z x x y z − − − ⇒ + +  
  • 15. liệu word toán SĐT (zalo): 14 Website: Ví dụ 4. Chứng minh rằng: 5 a a − chia hết cho 5 với a∈ . Giải HD: Ta có ( )( )( ) 5 4 2 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a − = − = − + + Ví dụ 5. Chứng minh rằng: 7 a a − chia hết cho 7 với a∈ . HD: Ta có ( )( )( )( ) 7 6 2 2 ( 1) 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a − = − = − + + + − + Ví dụ 6. Cho 2 số tự nhiên m, n thỏa mãn 4 2 24 1 m n + = . Chứng minh rằng: 5. mn Giải +) TH1: m chia hết cho 5 suy ra 5. mn +) TH2: m không chia hết cho 5, khi đó ( ) 4 2 4 4 2 24 1 25 1 m n m m n + = ⇔ − − = , mà m không chia hết cho 5 nên 4 1 m − chia hết cho 5 ( ) 4 4 25 1 m m ⇒ − − chia hết cho 5 2 5 5 5. n n mn ⇒ ⇒ ⇒    Vậy 5. mn Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng: ( )( ) 2 7 7 7 n n n + + chia hết cho 6. Bài 2. Chứng minh rằng nếu 3 n thì 2 3 3 1 13. n n + +  Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 1 7. n −  Bài 4. Chứng minh rằng nếu ( ) ,6 1 n = thì 2 1 24, n −  với n Z ∈ . Bài 5. Chứng minh rằng 1 2 3 4 5 n n n n + + +  , với n∈ và n không chia hết cho 4. Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên n để ( ) 1 1 n n n n + + chia hết cho 5. Bài 7. Chứng minh rằng ( )( ) 2 2 101 1000 a a a + + chia hết cho 3 với , a b∈ . Bài 8. Chứng minh rằng: ( )( ) 2 2 2031 2034 n n n + + chia hết cho 5 với n∈. Bài 9. Chứng minh rằng ( )( )( ) 2 2 2 5 10 13 n n n n + + + chia hết cho 7 với n∈. Bài 10. Chứng minh rằng 2 7 22 n n + + không chia hết cho 9 với n∈. 6. Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp: Để chứng minh A(n) không chia hết cho m ta giả sử A(n) chia hết cho m sau đó dùng lập luận để chỉ ra mâu thuẩn để chỉ ra điều giả sử là sai.
  • 16. liệu word toán SĐT (zalo): 15 Website: Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Chứng minh rằng 2 2026 n n + − không chia hết cho 25 với mọi số tự nhiên n. Giải Giả sử 2 2026 n n + − chia hết cho 25 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 6 2020 5 2 3 2020 5 2 3 5 n n n n n n ⇔ + − − ⇔ − + − ⇒ − +    Mà ( ) ( ) 3 2 5 5 n n + − − =  suy ra từng số ( ) ( ) 3 ; 2 n n + − đều chia hết cho 5 ( )( ) 2 3 25 n n ⇒ − +  Mà 2026 chia 25 dư 24 nên 2 2026 n n + − chia 25 dư 24 (trái giả sử). Do đó giả sử là sai, nghĩa là bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Có tồn tại hay không số tự nhiên n để 2 1 n n + + chia hết cho 9999 2025 . Giải Vì 9999 2025 5  ta đi chứng minh 2 1 n n + + không chia hết cho 5. Giả sử 2 1 n n + + chia hết cho 5. Ta có 2 ( 1) n n n n + = + đây là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên chưa số tận cùng của ( 1) n n + thuộc {0; 2; 6} suy ra 2 1 n n + + có chữ số tân cùng thuộc {1; 3; 7} nên nó không chia hết cho 5 (trái với giả sử). Do đó giả sử là sai, nghĩa là bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Chứng minh rằng 2 3 5 n n + + không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n. Giải Giả sử 2 3 5 n n + + chia hết cho 121. Vì (4, 121) = 1 nên ( ) ( ) 2 2 2 4 12 20 121 2 3 11 121 2 3 11 n n n n + + ⇔ + + ⇒ +    mà 11 là số nguyên tố ( ) ( ) 2 2 2 2 3 11 2 3 121 n n ⇒ + ⇒ +   nên suy ra 11 121  (vô lý). Do đó giả sử là sai, nghĩa là bài toán được chứng minh. Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 n n + + không chia hết cho 6. Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, 3 n chia hết cho 3 thì n cũng chia hết cho 3. Bài 3. Có tồn tại hay không số tự nhiên n để 2 2 n n + + chia hết cho 76 75 . Bài 4. Có tồn tại hay không số tự nhiên n để 2 3 n n + + chia hết cho 2030. Bài 5. Có tồn tại hay không số tự nhiên n để 2 3 59 n n + + và 2 5 57 n n + + cùng chia hết cho 49. Bài 6. Chứng minh rằng 2 2 n n + + không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n.
  • 17. liệu word toán SĐT (zalo): 16 Website: Bài 7. Chứng minh rằng 2 4 4 18 n n − + không chia hết cho 289 với mọi số tự nhiên n. Bài 8. Chứng minh rằng 2 1 n n + + không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. Bài 9. Chứng minh rằng 9 1 n + không chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n. Bài 10. Chứng minh rằng ( ) 1 2 ... 7 n + + + − không chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n. 15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC PHẦN 3: TỪ PHƯƠNG PHÁP 7 ĐẾN 9 7. Phương pháp chẵn lẻ Phương pháp - Trong 2 số nguyên liên tiếp thì một số là chẵn và một số là lẻ. - Tổng của một số chẵn và một số lẻ là số lẻ. - Hiệu của một số chẵn và một số lẻ là số lẻ. - Nếu tổng của 3 số là chẵn thì trong 3 số đó có ít nhất một số chẵn. - Nếu tổng của 5 số là chẵn thì trong 5 số đó có ít nhất một số chẵn. - Nếu tổng của 2 1 n + số là chẵn thì trong 2 1 n + số đó có ít nhất một số chẵn. - Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn là một số chẵn. - Tích của các số lẻ là số lẻ. - Trong tích chứa ít nhất một số chẵn thì kết quả là số chẵn. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Viết 5 số nguyên bất kỳ lên bảng theo một hàng ngang và kí hiệu chúng lần lượt là 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . m m m m m Cũng từ 5 số nguyên này sắp xếp tùy ý thành một hàng ngang khác và kí hiệu chúng lần lượt là 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . n n n n n Chứng minh rằng ( )( )( )( )( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 m n m n m n m n m n − − − − − luôn là một số chẵn. Giải Đặt 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 ; ; ; ; . a m n a m n a m n a m n a m n = − = − = − = − = − Ta có ( ) ( ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 a a a a a m m m m m n n n n n + + + + = + + + + − + + + + = là số chẵn suy ra trong 5 số 1 2 3 4 5 ; ; ; ; a a a a a có ít nhất một số là chẵn 1 2 3 4 5 . . . . a a a a a ⇒ chẵn (đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng tích ( )( )( )( )( )( )( ) a b b c c d d e e f f g g a − − − − − − − luôn chia hết cho 2, trong đó ; ; ; ; ; ; a b c d e f g là các số nguyên bất kỳ.
  • 18. liệu word toán SĐT (zalo): 17 Website: Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b b c c d d e e f f g g a − + − + − + − + − + − + − =là một số chẵn nên suy ra trong số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; a b b c c d d e e f f g g a − − − − − − − có ít nhất một số là chẵn ( )( )( )( )( )( )( ) a b b c c d d e e f f g g a ⇒ − − − − − − − chẵn ( )( )( )( )( )( )( ) 2. a b b c c d d e e f f g g a ⇒ − − − − − − −  Ví dụ 3. Đặt ( )( )( ) Q a b b c c a abc = + + + − với , , a b c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a b c + + chia hết cho 4 thì Q cũng chia hết cho 4. Chú ý: ( )( )( ) ( )( ) a b b c c a abc a b c ab bc ca + + + + = + + + + . Giải Ta luôn có ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 2 Q a b b c c a abc a b b c c a abc abc a b c ab bc ca abc = + + + − = + + + + − = + + + + −     Vì a b c + + chia hết cho 4 ( )( ) 4 a b c ab bc ca ⇒ + + + +  , (1). Ta có a b c + + chia hết cho 4 nên a b c + + chẵn ⇒ trong 3 số a, b, c phải có ít nhất một số chẵn abc ⇒ chẵn 2 4, (2). abc ⇒ −  Từ (1) và (2) suy ra Q chia hết cho 4, (đpcm). Ví dụ 4. Đặt ( )( )( ) 2 Q a b b c c a abc = + + + − với , , a b c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a b c + + chia hết cho 6 thì Q cũng chia hết cho 6. Chú ý: ( )( )( ) ( )( ) a b b c c a abc a b c ab bc ca + + + + = + + + + . Giải Ta luôn có ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 3 3 Q a b b c c a abc a b b c c a abc abc a b c ab bc ca abc = + + + − = + + + + − = + + + + −     Vì a b c + + chia hết cho 6 ( )( ) 6 a b c ab bc ca ⇒ + + + +  , (1). Ta có a b c + + chia hết cho 6 nên a b c + + chẵn ⇒ trong 3 số a, b, c phải có ít nhất một số chẵn abc ⇒ chẵn 3 6, (2). abc ⇒ −  Từ (1) và (2) suy ra Q chia hết cho 6, (đpcm). Ví dụ 5. Chứng minh rằng 5 2031 n + không chia hết cho 168 với *. n∈ Chú ý: n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với *. n∈
  • 19. liệu word toán SĐT (zalo): 18 Website: Giải Ta có 168 = 7.24 TH1: n là số chẵn 2 , * n k k = ∈ , khi đó ( ) ( ) 2 5 2031 5 2031 25 1 2032 25 1 24.84 15 n k k k + = + = − + = − + + Áp dụng tính chất n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với * n∈ ( ) 25 1 24 5 2031 k n ⇒ − ⇒ +  không chia hết cho 24 suy ra 5 2031 n + không chia hết cho 168. TH1: n là số lẻ 2 1, * n k k = + ∈ , khi đó ( ) ( ) 2 1 5 2031 5 2031 5 25 1 2036 5 25 1 24.84 20 n k k k + + = + = − + = − + + Áp dụng tính chất n n a b − chia hết cho ( ) a b − , với * n∈ ( ) 5 25 1 24 5 2031 k n ⇒ − ⇒ +  không chia hết cho 24 suy ra 5 2031 n + không chia hết cho 168. Bài tập áp dụng Bài 1. Viết 13 số nguyên bất kỳ lên bảng theo một hàng ngang và kí hiệu chúng lần lượt là 1 2 13 ; ;...; . m m m Cũng từ 13 số nguyên này sắp xếp tùy ý thành một hàng ngang khác và kí hiệu chúng lần lượt là 1 2 13 ; ;...; . n n n Chứng minh rằng ( )( ) ( ) 1 1 2 2 13 13 ... m n m n m n − − − luôn chia hết cho 2. Bài 2. Chứng minh rằng tích ( )( )( )( )( ) a b b c c d d e e a − − − − − luôn có giá trị là một số chẵn, trong đó ; ; ; ; a b c d e là các số nguyên bất kỳ. Bài 3. Chứng minh rằng 7 2050 n + không chia hết cho 816 với *. n∈ Bài 4. Chứng minh rằng 13 2045 n + không chia hết cho 2184 với *. n∈ Bài 5. Cho 3 n > và . n∈ Chứng minh rằng nếu 2 10 n a b = + với , a b∈ và 0 9 b < < thì 6. ab Bài 6. Cho các số nguyên dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 . a b c + = Chứng minh rằng 60. abc Bài 7. Chứng minh rằng nếu cả hai số 1 a + và 2 1 a + đều là số chính phương thì 24. a Bài 8. Chứng minh rằng nếu cả hai số 1 a + và 3 1 a + đều là số chính phương thì 40. a Bài 9. Cho ba số nguyên dương , , a b c thỏa mãn 3 3 3 a b c + + chia hết cho 14 . Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14 . Bài 10. Cho biểu thức 4 3 2 2 16 2 15 S n n n n = + − − + . Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để S chia hết cho 16. 8. Tìm giá trị của biến để biểu thức chia hết cho một số hoặc một biểu thức Phương pháp Để giải bài toán tìm n N ∈ sao cho ( ) ( ), A n B n  (hoặc ( ) ) , A n k k ∈   ta có thể sử dụng các cách làm sau:
  • 20. liệu word toán SĐT (zalo): 19 Website: Cách 1: Thực hiện phép chia ( ) ( ) A n B n  để tìm phần dư ( ) R n và tìm n∈ để ( ) . R n ∈ Cách 2: Biến đổi điều kiện ( ) ( ) ( ) A n B n k B n ⇔   (Với k là số tự nhiên không phụ thuộc n), từ đó tìm n Thử lại các giá trị tìm được của n để có ( ) ( ) A n B n  . Cách 3: Bước 1: Tìm các ước của ( ) B n Bước 2: Để ( ) ( ) A n B n  thì ( ) A n phải chia hết cho các ước của ( ) B n từ đó suy ra n. Chú ý: Trong quá trình sử dụng phương pháp 2 và 3 ta cần phối hợp với các phương pháp chứng minh chia hết đã học. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2 14 25 n n + + chia hết cho 5. n + Giải Ta có ( ) ( ) 2 2 2 10 4 20 5 2 14 25 5 2 4 5 5 5 n n n n n n n n n + + + + + + = = + + + + + Để 2 2 14 25 n n + + chia hết cho 5 n + thì { } { } 5 5 5; 1 10; 6;0; 4 5 n n n ∈ ⇔ + ∈ ± ± ⇔ ∈ − − − +  . Mà n là số nguyên dương nên không có giá trị nào của n thỏa bài toán. Ví dụ 2. Tìm n∈ để 3 2 ( ) 2 7 7 A n n n n = − + − chia hết cho 2 3. n + Giải Ta có ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 3 2 6 4 1 2 7 7 4 1 2 3 3 3 n n n n n n n n n n n n + + − − + − − + − − = = − + + + + Để 3 2 ( ) 2 7 7 A n n n n = − + − chia hết cho 2 3 n + thì ( )( ) 2 2 2 2 2 4 1 4 1 3 4 1 4 1 3 16 1 3 3 n n n n n n n n n − ∈ ⇔ − + ⇔ − + + ⇔ − + +     Ta có ( ) 2 2 2 2 2 16 3 49 16 1 49 16 3 3 3 n n n n n + − − = = − + + + Do đó bài toán { } 2 2 2 2 2 4 49 3 7;49 3 46 46 n n n n n n = ±   = ∈ ⇔ + ∈ ⇔ ⇔   + = ± =    .
  • 21. liệu word toán SĐT (zalo): 20 Website: Vậy để 3 2 ( ) 2 7 7 A n n n n = − + − chia hết cho 2 3 n + thì 2 n = ± . Ví dụ 3. Tìm số nguyên dương n thỏa điều kiện ( )( ) 3 4 3 n n n + +  Giải Ta có ( )( ) 2 3 4 3 7 12 3 n n n n n n + + ⇔ + +   ⇒ 2 2 2 2 7 12 3 12 3 (*) 7 12 7 12 (**) n n n n n n n n n n   + + + +   ⇒   + + + +         Từ (*) ta có ( ) 2 3 3 1 3 ,( ) 3 2 n k n n n n k Z n k =  + ⇔ + ⇔ ∈ = +    Từ (**) ta có { } 12 1;2;3;4;6;12 n n ⇔ ∈  Kết hợp các điều kiện trên ta có { } 2;3;6;12 n∈ , lần lượt thử vào đề bài ta có { } 2;6 n∈ . Ví dụ 4. Tìm số nguyên dương n thỏa điều kiện ( )( ) 5 6 6 n n n + +  Giải Ta có ( )( ) ( ) 2 2 5 6 6 11 30 6 12 30 6 n n n n n n n n n n + + ⇔ + + ⇔ + − +    Để thỏa mãn bài toán thì ( ) ( ) 2 2 30 6 30 n n n n n n − + ⇔ − +   . Vì { } 2 30 1;2;3;5;6;10;15;30 n n n n n − ⇒ ⇔ ∈   Để thỏa mãn bài toán thì ( ) 2 30 6 n n − +  . Vì ( ) 2 30 6 6 1 6 n n n n ⇒ − ⇔ −    Kết hợp 2 điều kiện { } 1;3;6;10;15;30 n∈ . Lần lượt thử các giá trị n tìm được vào đề bài ta có { } 1;3;10;30 . n∈ Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên n để ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 n n n n + + + + + + chia hết cho 10. Giải Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 4 12 14 10 2 6 7 5 2 6 2 5 n n n n n n n n n n + + + + + + ⇔ + + ⇔ + + ⇔ + +     ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 5 3 1 5 3 3 n n n n n n n n ⇔ + + ⇔ + + ⇔ + = +   có chữ số tận cùng bằng 4 hoặc 9 ⇔ n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6. Vậy n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì thỏa mãn bài toán. Bài tập áp dụng Bài 1. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2 10 17 n n + + chia hết cho 3. n + Bài 2. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 4 18 15 n n + + chia hết cho 2 1. n +
  • 22. liệu word toán SĐT (zalo): 21 Website: Bài 3. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 n 1 + chia hết cho 1. n + Bài 4. Tìm n∈ để 3 2 2 3 12 16 n n n − + − chia hết cho 3 1. n + Bài 5. Tìm n∈ để 3 2 2 3 12 16 n n n − + − chia hết cho 2 5. n + Bài 6. Tìm n∈ để 3 2 3 3 4 n n n − + − chia hết cho 2 2. n + Bài 7. Tìm n∈ để 5 1 n + chia hết cho 3 1. n + Bài 8. Tìm số nguyên dương n bé nhất để 3 2 4 – 20 – 48 n n n + chia hết cho 125. Bài 9. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho: 2 a b + chia hết cho 2 –1. a b Bài 10. Cho 4 3 2 2 –16 – 2 15, Q k k k k k = + + ∈ . Tìm điều kiện của k để số Q chia hết cho 16. 9. Phương pháp sử dụng nguyên lý Đirichlet Phương pháp Nguyên tắc Dirichlet: Nếu đem 1 n + vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên. Tổng quát: Nếu đem nk 1 + vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ k 1 + vật trở lên. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên bất kì có thể tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 10. Giải Lấy 11 số nguyên đã cho chia cho 10 thì ta được 10 số dư là một trong các số: 0; 1; ; 2; …; 9 Theo nguyên lý Đirichlet thì phải có ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó hiệu của 2 số này sẽ chia hết cho 10, (đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong 101 số nguyên bất kì có thể tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 100. Giải Lấy 101 số nguyên đã cho chia cho 100 thì ta được 100 số dư là một trong các số: 0; 1; ; 2;…; 99 Theo nguyên lý Đirichlet thì phải có ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó hiệu của 2 số này sẽ chia hết cho 100, (đpcm). Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong 1 n + số nguyên bất kì có hai số hiệu của chúng chia hết cho n. Đây là bài toán tổng quát của Ví dụ và Ví dụ 2 (Các em tự làm). Ví dụ 4. Cho 10 số tự nhiên bất kì 1 2 10 , ,..., a a a . Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 10 hoặc tổng của một số số chia hết cho 10. Giải
  • 23. liệu word toán SĐT (zalo): 22 Website: Xét 10 số mới như sau: 1 1 2 1 2 10 1 2 10 S a ,S a a ,...,S a a ... a = = + = + + + . Lấy 10 số 1 2 10 S ,S ,...S chia cho 10. Nếu có một ( ) i S 10 i 1,2,...,10 =  thì bài toán được chứng minh. Nếu i S không chia hết 10 với mọi i, tức là 1 2 10 S ,S ,...S chia cho 10 có các dư là một trong chín số: 1, 2,…, 9. Theo nguyên tắc Dirichlet có hai số cùng dư khi chia cho 10, giả sử là k S và l S (k > l). Khi đó: k l l 1 l 2 k S S a a ... a 10 + + − = + + +  , (đpcm). Ví dụ 5. Cho 4 số nguyên phân biệt , , , . a b c d Chứng minh rằng ta luôn có: ( )( )( )( )( )( ) 12. a b a c a d b c b d c d − − − − − −  Giải Đặt ( )( )( )( )( )( ) A a b a c a d b c b d c d = − − − − − − Bốn số nguyên a, b, c, d khi chia cho 3 luôn có ít nhất hai số cùng dư khi đó hiệu của chúng chia hết cho 3, hiệu là một trong các thừa số của A nêu ( ) 3 1 . A Nếu trong bốn số a, b, c, d có ít nhất hai số có cùng dư khi chia cho 4 thì 4 A còn nếu a, b, c, d có dư khác nhau khi chia cho 4 thì sẽ có hai số chẵn và hai số lẻ, lúc đó có hai hiệu chia hết cho 2, do đó ( ) 4, 2 . A Từ (1) và (2) suy ra 12 A (đpcm). Bài tập áp dụng Bài 1. Chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kì có thể tìm được ba số có tổng chia hết cho 3. Bài 2. Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kì luôn tìm được một cặp gồm hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100. Bài 3. Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho 10. Bài 4. Trong một bảng vuông gồm có 5× 5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông một trong ba số 1 ; 0 hoặc -1 sao cho mỗi ô có đúng một số. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số có hiệu chia hết cho 10. Bài 5. Cho 2030 số tự nhiên bất kì 1 2 2030 ; ;...; a a a . Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2030 hoặc tổng một số số chia hết cho 2030. Bài 6. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n khác 0 thoả mãn ( ) 13579 1 n − chia hết cho 13579 3 . Bài 7. Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số nhỏ hơn 21 và không lớn hơn 2026. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử x, y sao cho x y − thuộc tập hợp { } 3;6;9 E = . Bài 8. Cho 5 số nguyên phân biệt 1 2 3 4 5 , , , , a a a a a . Chứng minh rằng: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 288 T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − − − − − − − − − − 
  • 24. liệu word toán SĐT (zalo): 23 Website: Bài 9. Chứng minh rằng với ba số nguyên tố lớn hơn 3 bất kì luôn tìm được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12. Bài 10. Chứng minh rằng có thể tìm được hai lũy thừa khác nhau của số 4 mà chúng có hiệu của chúng chia hết cho 1000.
  • 25. liệu word toán SĐT (zalo): 24 Website: 15 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC PHẦN 4: TỪ PHƯƠNG PHÁP 10 ĐẾN PHƯƠNG PHÁP 11 10. Phương pháp sử dụng lý thuyết đồng dư Phương pháp Hai số nguyên a và b chia cho số nguyên m ( 0 m ≠ ) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun m, kí hiệu ( ) mod a b m ≡ . Với , , , a b c d ∈ và * m∈ ta có: ⊕ ( ) ( ) ( ) mod ; mod mod a b m b c m a c m ≡ ≡ ⇒ ≡ ⊕ ( ) ( ) ( ) mod ;c mod mod a b m d m a c b d m ≡ ≡ ⇒ + ≡ + ⊕ ( ) ( ) mod ; . . mod a c b d m a c b d m − ≡ − ≡ ⊕ ( ) ( ) mod mod n n a b m a b m ≡ ⇒ ≡ với * n∈ ⊕ ( ) ( ) * mod ;c mod a b m ac bc m ≡ ∈ ⇒ ≡  với c∈ . a) Sử dụng quy tắc 1: ( ) ( ) ( ) 1 mod 1 mod 1 mod n n n a m a m a m ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ Lưu ý 1: Sử dụng MTBT tìm số dư phép chia. Ví dụ: 534 chia 13 ta được thương 41 là và dư 1. Lưu ý 2: Phân tích số 312 thành tích các thừa số nguyên tố: Đáp số 3 2 .3.13 . Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2027 3 2 + chia hết cho 11. Phương pháp: - Ta sẽ đi tìm số dư của 2027 3 khi chia cho 11. - Để tìm số dư khi chia 2027 3 khi chia cho 11 ta sẽ đi tìm k để 3k chia 11 dư 1. Giải Ta có 5 3 243 1(mod11) = ≡ ( ) 405 5 405 3 1 (mod11) ⇒ ≡ 2025 3 1(mod11) ⇒ ≡ 2025 2 2 3 .3 1.3 (mod11) ⇒ ≡
  • 26. liệu word toán SĐT (zalo): 25 Website: 2027 3 9(mod11) ⇒ ≡ 2027 3 2 11 ⇒ +  , (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2033 2032 2 5 18 + + chia hết cho 31. Giải +) Ta có 5 2 32 1(mod31) = ≡ ( ) 406 5 406 2 1 (mod31) ⇒ ≡ 2030 2 1(mod31) ⇒ ≡ 3 2030 3 2 .2 2 (mod31) ⇒ ≡ 2033 2 8(mod31) ⇒ ≡ +) Ta có 3 5 125 1(mod31) = ≡ 3 5 125 1(mod31) ⇒ = ≡ ( ) 677 3 677 5 1 (mod31) ⇒ ≡ 2031 5 1(mod31) ⇒ ≡ 2031 5.5 5(mod31) ⇒ ≡ 2032 5 5(mod31) ⇒ ≡ +) Do đó ( ) 2033 2032 2 5 8 5 (mod31) + ≡ + 2033 2032 2 5 13(mod31) ⇒ + ≡ 2033 2032 2 5 18 31 ⇒ + +  , (đpcm). b) Sử dụng quy tắc 2: ( ) ( ) 2 ( 1) mod 1 mod a n n a n ≡ − ⇒ ≡ Ví dụ: ( ) ( ) 2 9 9 mod10 9 81 1 mod10 ≡ ⇒ = ≡ Ví dụ 1: Chứng minh rằng 654 555 321 827 + chia hết cho 23. Giải +) Ta có 654 654 321 22(mod 23) 321 22 (mod 23) ≡ ⇒ ≡ Ta có ( ) 327 2 2 327 654 22 484 1(mod 23) 22 1 (mod 23) 22 1(mod 23) = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ 654 321 1(mod 23) ⇒ ≡ , (1) +) Ta có 555 555 827 22(mod 23) 827 22 (mod 23) ≡ ⇒ ≡ Ta có ( ) 277 2 2 277 554 22 484 1(mod 23) 22 1 (mod 23) 22 1(mod 23) = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡
  • 27. liệu word toán SĐT (zalo): 26 Website: 555 555 22 22(mod 23) 827 22(mod 23) ⇒ ≡ ⇒ ≡ , (2) +) Từ (1) và (2) ta có 654 555 321 827 + chia hết cho 23. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 456 123 16 + chia hết cho 17. Giải Ta có 123 4(mod17) ≡ 456 456 123 4 (mod17) ⇒ ≡ Ta có ( ) 114 4 4 114 456 4 256 1(mod17) 4 1 (mod17) 4 1(mod17) = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ 456 123 1(mod17) ⇒ ≡ Do đó 456 123 16 + chia hết cho 17. Ví dụ 3: Chứng minh rằng 777 555 333 3 + chia hết cho 10. Ta có 333 3(mod10) ≡ , dễ thấy 2 4 3 9(mod10) 3 1(mod10) ≡ ⇒ ≡ , từ đó ta đi biểu diễn 777 555 4k r = + . Giải +) Ta có ( ) ( ) 777 777 555 3 mod 4 555 3 mod 4 ≡ ⇒ ≡ +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 388 2 2 388 776 777 3 9 1 mod 4 3 1 mod 4 3 1 mod 4 3 3 mod 4 = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ( ) 777 777 555 3 mod 4 555 4 3, k ⇒ ≡ ⇒ =+ với k ∈ . Khi đó 777 555 4 3 333 333 . k+ = +) Ta có ( ) ( ) 4 3 4 3 333 3 mod10 333 3 mod10 k k + + ≡ ⇒ ≡ , mà ( ) ( ) ( ) 4 4 3 1 mod10 3 1 mod10 k k ≡ ⇒ ≡ ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 4 3 3 3 1 mod10 3 .3 3 mod10 3 3 mod10 k k k+ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ , mà ( ) ( ) 3 4 3 3 27 7 mod10 3 7 mod10 k+ = ≡ ⇒ = Do đó ( ) 777 777 555 555 333 7 mod10 333 3 10. ≡ ⇒ +  c) Sử dụng quy tắc 3: ( ) 1 1 mod , p a p − ≡ với p nguyên tố và ( ) , 1 a p = (định lý Fecma nhỏ) Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 5555 666 17 19 1 + + chia hết cho 7 . Giải +) Ta có ( ) 6 17 24137569 1 mod7 = ≡ và ( ) 6 19 47045881 1 mod7 = ≡ . +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 925 925 5555 5 6 5 5555 5 17 17 . 17 17 . 1 mod7 17 17 mod7 = ≡ ⇒ ≡ mà ( ) ( ) 5 5555 17 5 mod7 17 5 mod7 ≡ ⇒ ≡ +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 111 111 666 6 666 19 19 1 mod7 19 1 mod7 = ≡ ⇒ ≡ Do đó 5555 666 17 19 1 + + chia hết cho 7 . Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 31 33 21 23 11 13 3 + − chia hết cho 5.
  • 28. liệu word toán SĐT (zalo): 27 Website: Giải +) Ta có ( ) ( ) ( ) 31 31 31 31 21 1 mod 4 21 1 mod 4 21 1 mod 4 21 4 1, * k k ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒ = + ∈ Khi đó ( ) ( ) 31 21 4 1 4 11 11 11. 11 11 mod5 k k+ = = ≡ mà ( ) ( ) 31 21 11 1 mod5 11 1 mod5 ≡ ⇒ ≡ . +) Ta có ( ) ( ) 33 33 23 3 mod 4 23 3 mod 4 ≡ ⇒ ≡ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 32 2 16 33 33 3 1 mod 4 3 3 1 mod 4 3 3 mod 4 23 4 3, * n n ≡ ⇒ = ≡ ⇒ ≡ ⇒ = + ∈ Khi đó ( ) ( ) 33 23 4 3 3 4 3 13 13 13 . 13 13 .1 mod5 n n n + = = ≡ mà ( ) ( ) 33 3 23 13 2 mod5 13 2 mod5 ≡ ⇒ ≡ . Do đó 31 33 21 23 11 13 3 + − chia hết cho 5. d) Sử dụng các phép biến đổi: Ví dụ 1: Cho n∈. Chứng minh rằng 2 5.6 18.13 n n + chia hết cho 23. Giải Ta có 2 5.6 18.13 5.36 18.13 n n n n + = + Ta có ( ) ( ) ( ) 36 13 mod 23 36 13 mod 23 5.36 5.13 mod 23 n n n n ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ Khi đó ( )( ) 5.36 18.13 5.13 18.13 mod 23 n n n n + ≡ + Mà 23.13 18.13 23.13 23 5.36 18.13 23 n n n n n + = ⇒ + ⇒   2 5.6 18.13 n n + chia hết cho 23. Ví dụ 2: Cho n∈. Chứng minh rằng 4 4 9.3 8.2 2099 n n − + chia hết cho 20. Giải +) Ta có ( ) ( ) 4 4 9.3 9.81 1.1 mod 4 9.3 1 mod 4 n n n n = ≡ ⇒ ≡ ; ( ) ( ) 4 4 4 8.2 0 mod 4 9.3 8.2 2099 0 mod 4 n n n ≡ ⇒ − + ≡ 4 4 9.3 8.2 2099 4 n n ⇒ − +  , (1). +) Ta có ( ) ( ) 4 4 9.3 9.81 4.1 mod5 9.3 4 mod5 n n n n = ≡ ⇒ ≡ ; ( ) ( ) 4 4 8.2 8.16 3.1 mod5 8.2 3 mod5 n n n n = ≡ ⇒ ≡ 4 4 9.3 8.2 2099 5 n n ⇒ − +  , (2). +) Từ (1) và (2) kết hợp với (4, 5) = 1 ta suy ra 4 4 9.3 8.2 2029 n n − + chia hết cho 20. 11. Phương pháp xét chữ số tận cùng Phương pháp - Nếu a có chữ số tận cùng là 0 thì n a có chữ số tận cùng là 0. - Nếu a có chữ số tận cùng là 1 thì n a có chữ số tận cùng là 1.
  • 29. liệu word toán SĐT (zalo): 28 Website: - Nếu a có chữ số tận cùng là 5 thì n a có chữ số tận cùng là 5. - Nếu a có chữ số tận cùng là 6 thì n a có chữ số tận cùng là 6. - Nếu a có chữ số tận cùng là 2 thì 4n a có chữ số tận cùng là 6. - Nếu a có chữ số tận cùng là 3 thì 4n a có chữ số tận cùng là 1. - Nếu a có chữ số tận cùng là 7 thì 4n a có chữ số tận cùng là 1. Chú ý: Để vận dụng tốt các dấu hiệu này để giải các bài toán chứng minh chia hết trong số học ta cần phối hợp với các phương pháp đã học: Hằng đẳng thức lũy thừa bậc cao, đồng dư thức, định lý Fecma nhỏ, … Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2022n 1 2 7 2099 + + chia hết cho 100, với *. n∈ Giải Ta có 2022n 1 2022n 2 2.2 7 7 + = . Vì 2022 2022 2.2 4, * 2.2 4 n n n k ∀ ∈ ⇒ =   , do đó ( ) 2022n 1 k 2 4k 4 7 7 7 + = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2022 1 4 4 2 7 2401 1 mod100 7 1 mod100 7 1 mod100 n k k + = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ 2022n 1 2 7 2099 + + chia hết cho 100. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 2026 2030 2 3 3 2 1 + + chia hết cho 11. Giải +) Ta có: ( ) ( ) 10 10 3 1 mod11 ;2 1 mod11 ≡ ≡ . +) Ta có ( ) 506 2026 2 2024 2 4 506 2 2 .2 2 . 2 4.16 = = = . Vì 506 16 có chữ số tận cùng là 6 506 4.16 24(mod10) ⇒ ≡ Mà 24 4(mod10) ≡ ⇒ 2026 2 4(mod10) ≡ ⇒ 2026 2 10 4. k = + Khi đó ( ) ( ) 2026 k k 2 10k 4 4 10 4 3 3 3 . 3 3 . 1 (mod11), + = = ≡ mà 2026 4 2 3 4(mod11) 3 4(mod11) ≡ ⇒ ≡ . +) Ta có ( ) 507 2030 2 2028 2 4 507 3 3 .3 3 . 3 9.81 = = = . Vì 507 81 có chữ số tận cùng là 1 507 9.81 9(mod10) ⇒ ≡ 2030 3 9(mod10) ⇒ ≡ ⇒ 2030 3 10 9. n = + Khi đó ( ) ( ) 2030 n n 3 10n 9 9 10 9 2 2 2 . 2 2 . 1 mod(11), + = = ≡ mà 2030 9 3 2 6(mod11) 2 6(mod11) ≡ ⇒ ≡ . Từ đó suy ra 2026 2026 2 3 3 2 1 + + chia hết cho 11. Bài tập áp dụng
  • 30. liệu word toán SĐT (zalo): 29 Website: Bài 1. Chứng minh rằng 3 3 10 10 10 10 10 27309 27309 27309 ... 27309 1 + + + + + chia hết cho 7. Bài 2. Chứng minh rằng 5555 2222 2222 5555 7. +  Bài 3. Chứng minh rằng số 777 333 555 555 333 777 + chia hết cho 10. Bài 4. Chứng minh rằng với mọi n N* ∈ ta có 4n 1 4n 1 2 3 7 4 65 100 + + + −  Bài 5. Chứng minh rằng: , với mọi n ∈ N. Bài 6. Chứng minh rằng: 333 222 222 333 + chia hết cho 13. Bài 7. Chứng minh rằng: 333 222 222 333 + chia hết cho 13. Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 6 2 2 2 3 n+ + chia hết cho 19. Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4 1 2 2 7 n+ + chia hết cho 11. Bài 10. Chứng minh rằng: 69 220 119 119 69 220 220 119 69 + + chia hết cho 102. Hết 4n 1 4n 1 2 3 3 2 5 11 + + + + 
  • 31. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ÔN THI CHUYÊN TOÁN – BỒI DƯỠNG HSG PHẦN 1 NỘI DUNG BUỔI HỌC 1. Định nghĩa 2. Các tính chất cơ bản 2.1. Chữ số tận cùng của số chính phương (Lý thuyết + 4 ví dụ minh họa) 2.2. Số dư của số chính phương khi chia cho 3 (Lý thuyết + 3 ví dụ minh họa) 2.3. Số dư của số chính phương khi chia cho 4 (Lý thuyết + 2 ví dụ minh họa) 2.4. Số dư của số chính phương khi chia cho 5 (Lý thuyết + 2 ví dụ minh họa) 2.5. Số dư của số chính phương khi chia cho 8 (Lý thuyết + 2 ví dụ minh họa) 2.6. Tính chất khi số chính phương chia cho một số nguyên tố (Lý thuyết + 4 ví dụ minh họa) 1. Định nghĩa Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Chú ý:  Số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.  Tập các số chính phương là: { } 0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;... . 2. Các tính chất cơ bản 2.1. Chữ số tận cùng của số chính phương Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. Ví dụ 1. Chứng minh rằng 1.2.3…2022 + 7 không thể là số chính phương. Giải Ta có 1.2.3…2022 có chữ số tận cùng là 0, suy ra 1.2.3…2022 + 7 có chữ số tận cùng bằng 7, mà Một số chính phương không thể có chữ số tận cùng bằng 7, suy ra 1.2.3…2022 + 7 không thể là số chính phương. Ví dụ 2. Số 0 1 2 3 2023 2 2 2 2 ... 2 M = + + + + + có phải là số chính phương hay không? Giải
  • 32. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: Ta có 0 1 2 3 2023 2 2 2 2 ... 2 M = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 5 2020 2021 2022 2023 2 3 4 2019 2 3 4 2019 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 3 30. 2 ... 2 = + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + Do ( ) 2019 30. 2 ... 2 + + có chữ số tận cùng là 0 suy ra ( ) 2019 3 30. 2 ... 2 + + + có chữ số tận cùng là 3 suy ra M không thể là số chính phương. Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương, chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố. Giải +) Do số chính phương phải có chữ số tận cùng thuộc {0, 1, 4, 5, 6, 9} suy ra { } 0;1;4;5;6;9 d ∈ , mà d là một số nguyên tố 5. d ⇒ = +) Do ( ) { } 2 2 10000 100 5 , 1;2;3;...;9 abcd abcd x x < = ⇒ = ∈ . +) Ta có ( ) { } 2 2 2 2 15 225 ( ) 9 5 9 5 3 5 3 1;4;7 45 2025 ( ) 75 5625 ( ) abcd l abcd x x x x abcd n abcd n  = =  ⇒ ⇒ ⇒ + ⇒ ∈ ⇒ = =   = =       +) Có hai số thỏa mãn bài toán là 2025 và 5625. Ví dụ 4. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. Giải +) Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là 2; 1; ; 1; 2 n n n n n − − + + , với , 2. n n ∈ ≥  +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 5 10 5 2 5 M n n n n n n n M = − + − + + + + + = + = + ⇒  . Do 5 là số nguyên tố nên để M là số chính phương thì 2 25 2 5 M n ⇒ +   2 n ⇒ phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8, nhưng điều này không xảy ra vì 2 n là số chính phương. Do đó M không thể là số chính phương. 2.2. Số dư của số chính phương khi chia cho 3 Mọi số chính phương khi chia cho 3 đều có số dư là 0 hoặc 1. Điều này có thể được hiểu theo 3 cách khác như sau:
  • 33. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: - Mọi số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1. - Mọi số chính phương đều có dạng 3k hoặc 3 1 k + với . k ∈ - Số có dạng 3 2 k + với k ∈ không thể là số chính phương. Ví dụ 1. Đặt m là tích của 2022 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng 1 m − không thể là số chính phương. Giải Theo giả thiết ta có 2.3.5.7.... m = suy ra m chia hết cho 3. Ta có ( ) 1 3 2 m m − = − + chia 3 dư 2 suy ra 1 m − không thể là số chính phương. Ví dụ 2. Giả sử n là số nguyên dương thoả mãn điêu kiện 2 3 n n + + là số nguyên tố. Chứng minh rằng 2 7 6 2029 n n + + không phải số chính phương. Giải +) TH1: 3 , n k k = ∈ . Khi đó 2 3 n n + + chia hết cho 3, mà 2 3 3 n n + + > suy ra 2 3 n n + + là hợp số (vô lí). +) TH2: 3 1, n k k = + ∈. Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 7 6 6 6 2 6 02 3 1 3 1 202 7 9 3 0 204 9 k n n k k k + + + + + + + + = = chia 3 dư 2 nên 2 7 6 2029 n n + + không là số chính phương. +) TH3: 3 2, n k k = + ∈ . Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 3 2 3 9 15 9 3 n n k k k k + + = + + + + = + +  , mà 2 3 3 n n + + > suy ra 2 3 n n + + là hợp số (vô lí). +) Vậy 2 7 6 2029 n n + + không phải số chính phương. Ví dụ 3. Chứng minh rằng tổng lũy thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Giải +) Gọi tổng lũy thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp là ( ) ( ) 2 2 2 1 1 k m l S a a a = − + + + , trong đó ; , , a k l m ∈ ∈  . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 k m l S a a a     = − + + +     , nghĩa là S là tổng của ba số chính phương. +) Ta có một số chính phương khi chia cho 3 đều có số dư là 0 hoặc 1, (*)
  • 34. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: +) Do 1; ; 1 a a a − + là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2, (**). +) Từ (*) và (**) suy ra trong ba số chính phương ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ; ; 1 k m l a a a     − +     có một số chia hết cho 3 và hai số chia 3 dư 1, từ đó suy ra tổng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 k m l S a a a     = − + + +     chia 3 có số dư là 2 nên ( ) ( ) 2 2 2 1 1 k m l S a a a = − + + + không thể là một số chính phương. 2.3. Số dư của số chính phương khi chia cho 4 - Mọi số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1. - Mọi số chính phương đều có dạng 4k hoặc 4 1 k + với . k ∈ - Các số có dạng 4 2; 4 3 k k + + với k ∈ không thể là số chính phương. - Số chính phương chẵn luôn chia hết cho 4. - Số chính phương lẻ chia cho 4 luôn có số dư là 1. Ví dụ 1. Tìm các số nguyên dương n sao cho n n n 2 3 4 + + là số chính phương. Giải +) Khi n = 1 ta có n n n 9 2 3 4 + = + là số chính phương (thỏa mãn). +) Khi 2 n ≥ , ta luôn có n 2 4  và n 4 4  suy ra n n 2 4 4 +  . Do đó để n n n 2 3 4 + + là số chính phương thì 3n chia hết cho 4 hoặc 3n chia 4 dư 1 suy ra n chẵn. Khi đó ( ) 2 n 1 2 2 4 4 1 k k k = = = − + chia 3 dư 1; n 3 chia hết cho 3; ( ) n n 1 1 4 4 = − + chia 3 dư 1 suy ra n n n 2 3 4 + + chia 3 dư 2 suy ra n n n 2 3 4 + + không là số chính phương. +) Vậy với n = 1 thì thỏa mãn bài toán. Ví dụ 2. Chứng minh rằng 2 2 2 2021 2022 ... 2120 N = + + + không là số chính phương. Giải Ta có dãy 2021; 2022; …; 2120 có 100 số gồm 50 số chẵn và 50 số lẻ. Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2023 ... 21 2021 2022 .. 19 . 2120 N + + + + + + Ta có 2 2 2022 ... ; ;2120 là các số chính phương chẵn nên chúng chia hết cho 4 suy ra 2 2 2022 ... 2120 + + chia hết cho 4, (*). Ta có 2 2 2021 ... ; ;2119 là các số chính phương lẻ nên chúng chia cho 4 dư 1 suy ra 2 2 2021 ... 2119 + + chia 4 dư 2, (**).
  • 35. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Từ (*) và (**) suy ra 2 2 2 2021 2022 ... 2120 N = + + + chia 4 dư 2 suy ra 2 2 2 2021 2022 ... 2120 N = + + + không là số chính phương. 2.4. Số dư của số chính phương khi chia cho 5 Mọi số chính phương khi chia cho 5 đều có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. Điều này có thể được hiểu theo 3 cách khác như sau: - Mọi số chính phương hoặc chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 1 hoặc chia 5 dư 4. - Mọi số chính phương đều có dạng 5k hoặc 5 1 k + hoặc 5 4 k + với . k ∈ - Các số có dạng 5 2; 5 3 k k + + với k ∈ không thể là số chính phương. Ví dụ 1. Chứng minh rằng 5 2024 2022 n n + + không thể là số chính phương. Giải Ta có 5 5 2024 2022 2025 2020 2( ) n n n n n n N + + = − + + + ∈ ( 1)( 1)( 2)( 2) 5 ( 1)( 2) 2025 2020 2( ) n n n n n n n n n n N = − + − + + − + + + + ∈ chia 5 dư 2. Ta nhận xét rằng không có số chính phương nào chia 5 dư 2 . Vậy 5 2024 2022 ( ) n n n N + + ∈ không phải là số chính phương. Ví dụ 2. Cho * n∈ , chứng minh rằng nếu 2 1 n + và 3 1 n + là hai số chính phương thì n chia hết cho 40. Giải: Giả sử 2 2 1 n m + = và ( ) 2 * 3 1 , n k m k + = ∈ Do 2 2 1 n m + = suy ra m lẻ ( )( ) 2 2 1 1 1 4 n m m m n ⇒ = − = − + ⇒  chẵn k ⇒ lẻ. Từ 2 3 1 n k + = suy ra ( )( ) 2 3 1 1 1 8 n k k k = − = − +  (do 1, 1 k k − + là hai số chẵn liên tiếp), do đó 8 n , (1) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 4. Nếu ( ) 1 mod5 n ≡ thì ( ) 2 1 3 mod5 n + ≡ , vô lí. Nếu ( ) 2 mod5 n ≡ thì ( ) 3 1 2 mod5 n + ≡ , vô lí. Nếu ( ) 3 mod5 n ≡ thì ( ) 2 1 2 mod5 n + ≡ , vô lí. Nếu ( ) 4 mod5 n ≡ thì ( ) 3 1 3 mod5 n + ≡ , vô lí. Vậy: 5 n , (2)
  • 36. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Từ (1) và (2) kết hợp với (5, 8) = 1 suy ra 40 n . 2.5. Số dư của số chính phương khi chia cho 8 Mọi số chính phương khi chia cho 8 đều có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. Điều này có thể được hiểu theo 3 cách khác như sau: - Mọi số chính phương hoặc chia hết cho 8 hoặc chia 8 dư 1 hoặc chia 8 dư 4. - Mọi số chính phương đều có dạng 8k hoặc 8 1 k + hoặc 8 4 k + với . k ∈ - Các số có dạng 8 2; 8 3; 8 5; 8 6; 8 7 k k k k k + + + + + với k ∈ không thể là số chính phương. - Số chính phương chẵn hoặc chia hết cho 8 hoặc chia 8 dư 4. - Số chính phương lẻ chia cho 8 luôn có số dư là 1. Ví dụ 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n C 2027 2036 = + là số chính phương. Giải Với mọi số tự nhiên a thì 2 a khi chia cho 8 chỉ có các số dư là 0;1;4. Số 2027 chia 8 dư 3; 2036 chia 8 dư 4 . Suy ra 2027 3 (mod8) n n ≡ Nếu n chẵn thì 2 2 , 2027 3 1(mod8) n k n k k = ∈ ⇒ ≡ ≡  5(mod8) C C ⇒ ≡ ⇒ không thể là số chính phương. Nếu n lẻ thì 2 1 2 2 1, 2027 3 3.3 3(mod8) n k k n k k + = + ∈ ⇒ ≡ ≡ ≡  7(mod8) C C ⇒ ≡ ⇒ không thể là số chính phương. KL: Không tôn tại n thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 2. Tìm số nguyên tố p để 4 2201 p + là số chính phương. Giải Xét 2 p = , ta có: 2 4 2201 2209 47 p + = = là số chính phương. Xét 2 p > , vì p là số nguyên tố nên 2 1, ( *). p k k N = + ∈ Ta có: 4 1 4(2 1) 2201 8 2205 8 275.8 5 p k k k + = + + = + = + + chia 8 dư 5 Mặt khác 4p + 1 là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1. Do đó với p > 2 thì 4p + 1 không là số chính phương.
  • 37. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: Vậy số nguyên tố p để 4 2201 p + là số chính phương là 2 p = . 2.6. Tính chất khi số chính phương chia hết cho một số nguyên tố Một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó cũng chia hết cho 2 . p Sau đây là một số trường hợp cụ thể thường sử dụng: - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. … Ví dụ 1. Cho biểu thức ( ) 2 2 2 2 1 2 2022 . A = + +…+ Hỏi A có là bình phương của một số nguyên hay không? Giải Ta có A chia hết cho 2 nhưng A không chia hết cho 4 suy ra A không thể là SCP. Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên lẻ thì 2 2 a b + không phải là số chính phương. Giải Vì a, b là các số tự nhiên lẻ nên ta đặt 2 1; 2 1; , N a m b n m n = + = + ∈ . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 2 a b m n m n m n + = + + + = + + + + Ta có một số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 Mà 2 2 a b + chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, nên 2 2 a b + không phải là số chính phương Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2022 thì số đó không phải là số chính phương. Giải Ta thấy tổng các chữ số của số 2022 là 6 nên 2022 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2022 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. Hết
  • 38. liệu word toán SĐT (zalo): 8 Website: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ÔN THI CHUYÊN TOÁN – BỒI DƯỠNG HSG PHẦN 2 NỘI DUNG BUỔI HỌC 2.7. Chữ số hàng chục của các số chính phương (Lý thuyết + 2 ví dụ minh họa) 2.8. Kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp (Lý thuyết + 2 ví dụ minh họa) 2.9. Một số tính chất khác (Lý thuyết) 3. Các dạng toán quan trọng về số chính phương 3.1. Sử dụng các tính chất của số chính phương chứng minh chia hết. (Phương pháp giải toán + 4 ví dụ minh họa) 3.2. Chứng minh một số là số chính phương (Phương pháp giải toán + 4 ví dụ minh họa) 3.3. Chứng minh một số không phải là số chính phương (Phương pháp giải toán + 3 ví dụ minh họa) 3.4. Tìm giá trị của biến để một biểu thức là số chính phương (Phương pháp giải toán + 3 ví dụ minh họa) 3.5. Tìm số chính phương. (Phương pháp giải toán + 3 ví dụ minh họa)
  • 39. liệu word toán SĐT (zalo): 9 Website: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ÔN THI CHUYÊN TOÁN – BỒI DƯỠNG HSG Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943911606 PHẦN 2 2.7. Chữ số hàng chục của các số chính phương Sau đây là một số tính chất thú vị về chữ số hàng chục của các số chính phương, nó giúp chúng ta rất nhiều trong những bài toán tìm các chữ số tận cùng của một số. Tập các số chính phương là: { } 0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;... . - Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. - Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. - Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. - Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Ví dụ 1. Tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 2; 3; 5; 9. Giải Vì số chính phương không thể tận cùng là 2 và 3 nên ta có 2 khả năng sau: +) Chữ số tận cùng là 9, khi đó chữ số hàng chục phải là số chẵn nên chữ số hàng chục phải là 2, do đó có 2 số có khả năng thỏa mãn bài toán là 5329 và 3529. Ta thấy chỉ có số 2 5329 73 = là thỏa mãn bài toán. +) Chữ số tân cùng là 5, khi đó chữ số hàng chục phải là 2, do đó có 2 số có khả năng thỏa mãn bài toán là 3925 và 9325. Mặt khác 39 và 93 không thể phân tích thành tích của 2 số nguyên liên tiếp nên 3925 và 9325 không phải là số chính phương. Ví dụ 2. Cho 5 số chính phương có chữ số hàng chục khác nhau và có chữ số tận cùng đều là 6. Chứng minh rằng tổng bình phương của các chữ số hàng chục của 5 số chính phương này cộng thêm 4 cũng là một số chính phương. Giải Do 5 số chính phương có tận cùng là 6 nên chữ số hàng chục của chúng đều là số lẻ suy ra các chữ số hàng chục thuộc tập {1; 3; 5; 7; 9}, mà các chữ số này khác nhau nên các chữ số hàng chục này là các
  • 40. liệu word toán SĐT (zalo): 10 Website: số 1; 3; 5; 7; 9. Khi đó tổng bình phương của các chữ số hàng chục của 5 số chính phương này cộng thêm 4 bằng: 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 9 4 169 13 + + + + + = = là số chính phương. 2.8. Kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp Giữa hai số chính phương liên tiếp không còn số chính phương nào nữa. Tính chất này được vận dụng dưới các dạng phát biểu sau: - Nếu ( ) 2 2 1 k n k < < + với k ∈ thì n không thể là số chính phương. - Nếu ( ) 2 2 1 k n k < ≤ + với k ∈ và n là số chính phương thì ( ) 2 1 . n k = + - Nếu ( ) 2 2 1 k n k ≤ < + với k ∈ và n là số chính phương thì 2 . n k = Ví dụ 1. Chứng minh rằng số 4 3 2 2 2 2 1 A n n n n = + + + + trong đó n ∈ và n 1 > không phải là số chính phương. Giải +) Ta có ( ) 4 3 2 4 3 2 2 2 , , 1,(*) 2 2 2 1 2 n n n n A n n n n n n n + = + + ∀ > = + + + > + ∈ . +) Ta đi chứng minh ( ) 2 2 1 , , 1,(**) n n n A n < + + ∀ ∈ >  Thật vậy (**) ( ) 3 2 2 4 2 3 2 4 3 2 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n ⇔ + + + + < + + + + + ⇔ < + + + + + + 2 0 n ⇔ > , đúng vì , 1 n n ∈ >  . +) Từ (*) và (**) suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 1 n A n n n + < + < + , mà ( ) ( ) 2 2 2 2 ; 1 n n n n + + + là hai số chính phương liên tiếp suy ra A không thể là số chính phương, (đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên khác không x và y sao cho 2 x y + và 2 x y + đồng thời là số chính phương. Giải Do vai trò của x và y như nhau nên ta có thể giả sử x y ≥ . Khi đó ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 x x y x x x x x < + ≤ + < + + = + , mà 2 x và ( ) 2 1 x + là hai số chính phương liên tiếp suy ra 2 x y + không thể là số chính phương, (đpcm). 2.9. Một số tính chất khác - Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.
  • 41. liệu word toán SĐT (zalo): 11 Website: - Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương. - Nếu tích của hai số nguyên a và b là một số chính phương thì ta có thể biểu diễn a và b dưới dạng: 2 . a m p = và 2 . b m q = trong đó , , m p q là các số nguyên. - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. - Số các ước số nguyên của mọi số chính phương đều là số lẻ. Nhắc lại: Nếu số tự nhiên n được phân tích dưới dạng thừa số nguyên tố là: 1 2 . ... m k k k n p p p = thì số ước nguyên dương của n là ( )( ) ( ) 1 2 1 1 ... 1 m k k k + + + . 3. Các dạng toán quan trọng về số chính phương 3.1. Sử dụng các tính chất của số chính phương chứng minh chia hết. Phương pháp: - Vận dụng các kiến thức chia hết cơ bản và thuật toán ( . ) ( , ) 1 A m A n A m n m n   ⇒   =     - Vận dụng tính chất số chính phương khi chia 3 có số dư là 0 hoặc 1. - Vận dụng tính chất số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1. - Vận dụng tính chất số chính phương khi chia 5, 8 và các tính chất khác số chính phương. - Vận dụng nguyên lý kẹp để có được mối quan hệ đặc biệt giữa các biến rồi vận dụng vào bài toán chứng minh chia hết. Ví dụ 1. Cho n∈ và 1 n + ; 2 1 n + đều là số chính phương. Chứng minh rằng n luôn chia hết cho 24. Giải +) Giả sử 2 2 1 ; 2 1 , n a n b + = + = với , a b∈ . +) Ta có 2 1 n + lẻ suy ra 2 b lẻ suy ra b lẻ 2 1, b k k ⇒ = + ∈. Mà 2 2 1 n b + = nên ta có ( ) 2 2 1 2 1 n k + = + 2 2 2 n k k ⇔ = + suy ra n chẵn 1 n ⇒ + lẻ 2 a ⇒ lẻ a ⇒ lẻ 2 1, a p p ⇒ = + ∈ mà 2 1 n a + = nên ta có ( ) ( ) 2 1 2 1 4 1 n p n p p += + ⇔ = + . Do ( ) ( ) 1 2 4 1 8 8,(*). p p p p n + ⇒ + ⇒   
  • 42. liệu word toán SĐT (zalo): 12 Website: +) Ta có 2 2 2 2 2 2 1 ; 2 1 3 2 n a n b a b n a b + = + = ⇒ + = + ⇒ + chia 3 dư 2. Mà 2 2 ; a b là các số chính phương nên 2 2 ; a b chia 3 phải có số dư là 0 hoặc 1 nên ta có cả 2 2 ; a b đều chia 3 dư 1 suy ra 2 2 3 b a −  suy ra ( ) ( ) 2 1 1 3 3,(**) n n n + − + ⇒      +) Từ (*) và (**) kết hợp với (3, 8) = 1 suy ra n chia hết cho 24.
  • 43. liệu word toán SĐT (zalo): 13 Website: Ví dụ 2. Cho ( ) 2 3 S m n m n = + + + là số chính phương, với , * m n∈ . Chứng minh rằng 3 1 n + chia hết cho m. Giải +) Ta có ( ) ( ) 2 2 3 S m n m n m n = + + + > + với , * m n∈ , (1). Ta đi chứng minh ( ) 2 2 ,(2). S m n < + + Thật vậy ( ) ( ) 2 2 (2) 3 2 m n m n m n ⇔ + + + < + + 2 2 2 2 2 3 4 2 4 4 3 4 0 m mn n m n m n mn m n m n ⇔ + + + + ≤ + + + + + ⇔ + + > (luôn đúng) Từ (*) và (**) ta có ( ) ( ) 2 2 2 m n S m n + < < + + , mà S là số chính phương ( ) 2 1 S m n = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 3 1 1 1. m n m n m n n m n m + + + = + + ⇔ + = ⇔ = − +) Ta có ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 n m m m m m m m n m + = − + = − + − + = − + ⇒ +  , (đpcm). Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tuỳ ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4. Giải +) Vì một số nguyên bất kỳ phải là số chẵn hoặc là số lẻ. Do đó theo nguyên lý Đirichlet trong 3 số nguyên bất kỳ luôn chọn ra được 2 số có cùng tính chẵn lẻ. +) Áp dụng ta có trong 3 số chính phương bất kỳ luôn chọn ta được hai số có cùng tính chẵn lẻ. Gọi 2 số chính phương được chọn ra đó là 2 a và 2 b . Khi đó ta có: 2 2 ( )( ) a b a b a b − = − + . +) Vì 2 a và 2 b cùng tính chẵn lẻ nên , a b cũng cùng tính chẵn lẻ. Do đó a b − là số chẵn và a b + cũng là số chẵn 2 2 ( )( ) : 4 a b a b a b ⇒ − = − + (đpcm). Ví dụ 4. Cho số nguyên tố ( 3) p p > và hai số nguyên dương , a b sao cho 2 2 2 p a b + =. Chứng minh a chia hết cho 12. Giải Ta có: 2 2 2 2 ( )( ) p a b p b a b a + = ⇔ = − + . Các ước của 2 p là 1, p và 2 p ; không xảy ra trường hợp . b a b a p + = − = Do đó chỉ xảy ra trường hợp 2 b a p + = và 1 b a − = .
  • 44. liệu word toán SĐT (zalo): 14 Website: Khi đó 2 1 2 p b + = và 2 1 2 p a − = suy ra 2 ( 1)( 1) a p p = − + . Từ p lẻ suy ra 1, 1 p p + − là hai số chẵn liên tiếp ( 1)( 1) p p ⇒ − + chia hết cho 8 . Suy ra 2a chia hết cho 8 Từ p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 . Do đó p có dạng 3 1 k + hoặc 3 2 k + . Suy ra một trong hai số 1; 1 p p + − chia hết cho 3 . Suy ra 2a chia hết cho 3 suy ra 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12. 3.2. Chứng minh một số là số chính phương Phương pháp: - Sử dụng các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức để đưa biểu thức cần chứng minh về một bình phương đúng. - Sử dụng các tính chất của số chính phương để lập luận chỉ ra biểu thức là số chính phương. - Xét biến số của bài toán theo các môđun đặc biệt (2, 3, 4, 5, …) để chứng minh từng trường hợp riêng đều thỏa mãn bài toán. Ví dụ 1. Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên liên tiếp công thêm 1 luôn là một số chính phương. Giải Gọi tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng thêm 1 là: ( )( )( ) 1 2 3 1 S n n n n = + + + + , với . n∈ Ta có ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 1 3 1 1 3 1 1 1 S n n n n n n n n     = + + + + = + + − + + + +     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 1 1 3 1 n n n n = + + − + = + + là một số chính phương, (đpcm). Ví dụ 2. Cho , , x y z∈ thỏa mãn 1. xy yz zx + + =Chứng minh rằng ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 x y z + + + là một số chính phương. Giải Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 x x xy yz zx x x y z x y x y x z + = + + + = + + + = + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 y y xy yz zx y x y z x y x y y z + = + + + = + + + = + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 z z xy yz zx z z x y z x z x y z + = + + + = + + + = + + Do đó ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y y z z x + + + = + + +     là một số chính phương, (đpcm).
  • 45. liệu word toán SĐT (zalo): 15 Website: Ví dụ 3. Cho số nguyên tố ( 3) p p > và hai số nguyên dương , a b sao cho 2 2 2 p a b + =. Chứng minh 2( 1) p a + + là số chính phương. Giải Ta có: 2 2 2 2 ( )( ) p a b p b a b a + = ⇔ = − + . Các ước của 2 p là 1, p và 2 p ; không xảy ra trường hợp b a b a p + = − = Do đó chỉ xảy ra trường hợp 2 b a p + = và 1 b a − = . Khi đó 2 1 2 p b + = và 2 1 2 p a − = . Xét 2 2 2 p 1 2(p a 1) 2 p 1 2p p 1 (p 1) 2   − + + = + + = + + = +     là số chính phương, (đpcm). Ví dụ 4. Cho hai số nguyên dương m,n thỏa mãn 1 m n + + là một ước nguyên tố của ( ) 2 2 2 1 m n + − . Chứng minh rằng (2 2022).(3 2022) m m n + − + là số chính phương. Giải Giả sử m n ≠ , ta có 2 ( ) 1 ( 1)( 1) ( 1) m n m n m n m n + − = + + + − + +  ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( 1) m n m n m n   ⇒ + − − + − + +   ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) m n m mn n m n ⇔ + − − − + +  2 ( ) ( 1) m n m n ⇔ − + +  Do 1 m n + + là số nguyên tố 1 m n ⇒ + + là ước của m n − . Mà 1 m n m n − < + + do đó vô lý Vậy giả sử sai 2 (2 2022).(3 2022) (2 2022) m n m m n m ⇒ = ⇒ + − + = + là số chính phương 3.3. Chứng minh một số không phải là số chính phương Phương pháp: - Sử dụng nguyên lý kẹp để chỉ ra không tồn tại số chính phương thỏa mãn bài toán. - Để chứng minh A không là số chính phương ta chỉ ra chữ số tận cùng của A là 2, 3, 7, 8 từ đó chỉ ra A không thể là số chính phương. - Để chứng minh A không là số chính phương xét số dư của biến trong bài toán khi chi cho 3 và chỉ ra rằng số dư của A khi chia cho 3 là 2, dẫn đến A không thể là số chính phương. - Để chứng minh A không là số chính phương xét số dư của biến trong bài toán khi chi cho 4 và chỉ ra rằng số dư của A khi chia cho 4 là 2 hoặc 3 dẫn đến A không thể là số chính phương. - Chỉ ra A + 1 hoặc A – 1 là số chính phương từ đó suy ra A không thể là số chính phương.
  • 46. liệu word toán SĐT (zalo): 16 Website: - Sử dụng các kỹ thuật khác. Ví dụ 1. Cho 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1) ( 2) B n n n = + + +…+ ⋅ + ⋅ + với * . n∈ Chứng minh rằng B không là số chính phương. Giải Ta có 4 1.2.3.4 2.3.4 (5 1) 3.4.5 (6 2) ( 1) ( 2) [( 3) ( 1)] B n n n n n = + ⋅ − + ⋅ − +…+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ( ) 2 4 3 2 4 3 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 6 11 6 6 11 6 1 3 1 n n n n n n n n n n n n n n = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + < + + + + = + + Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 4 3 2 2 2 2 6 11 6 6 9 3 3 4 3 1 n n n n n n n n n n n B n n + + + > + + = + ⇒ + < < + + Do đó B không phải là số chính phương. Ví dụ 2. Chứng minh rằng 8 8 8 8 2022 2023 2024 2025 n n n n S = + + + không thể là số chính phương, *. n∈ Giải Ta có 8 8 * 2022 4;2024 : 4, n n n N ∀ ∈  ( ) 8 8 8 2023 2023 1 1 2023 1 1 n n n = − + = − + chia cho 4 dư 1. 8 8 8 2025 2025 ( 1) 1 n n n = − − + chia cho 4 dư 1. Do đó, 8 8 8 8 2022 2023 2024 2025 n n n n S = + + + chia cho 4 dư 2 . Ta có: 2 S , nhưng S không chia hết cho 4 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra S không là số chính phương, (đpcm). Ví dụ 3. Cho 2 n ≤ ∈ , Chứng minh rằng 6 4 3 2 2 2 A n n n n = − + + không thể là số chính phương Giải Ta có ( ) 6 4 3 2 2 4 2 2 2 2 2 A n n n n n n n n = − + + = − + + ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ( 1) 2( 1) 1 2 1 2 2 n n n n n n n n n n n n   − + + = + − + = + − +   Với 2 n ≤ ∈ , ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 n n n n n − + > − + = − Và ( ) 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n − + = − − < . Do đó ( ) 2 2 2 1 2 2 n n n n − < − + < Như vậy 2 2 2 n n − + không phải là số chính phương nên A không phải là số chính 3.4. Tìm giá trị của biến để một biểu thức là số chính phương Phương pháp:
  • 47. liệu word toán SĐT (zalo): 17 Website: - Để A là số chính phương ta tìm các đưa A về dạng tích và lập luận A là số chính phương bằng cách sử dụng các tính chất số học. - Xét tính chẵn lẻ để đưa ra kết quả bài toán. - Xét các biến theo môđun (3, 4, 5, …) để tìm số dư của biểu thức cần tìm là số chính phương theo các môđun này rồi kết luận. - Sử dụng nguyên lý kẹp. - Quy về giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ 1. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số 1;2 1;5 1 n n n + + + đều là các số chính phương. Giải Nếu 3 1( ) n k k = + ∈ thì 1 3 2 n k + = + , không là số chính phương. Nếu 3 2 n k = + thì 2 1 6 5 n k + = + , cho cho 3 dư 2 nên không là số chính phương. Vậy 3 n . 2 1 n + là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1. Suy ra 2 :8 4 1 n n n ⇒ ⇒ +  lẻ. Do 1 n + là số chính phương lẻ nên 1 n + chia cho 8 dư 1 , suy ra 8 n . n chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau 3 và 8 nên chia hết cho 24. Với 24 n = thì 2 1 25 5 n + = = , 2 2 2 1 49 7 ,5 1 121 11 n n + = = + = = . Giá trị nhỏ nhất của n phải tìm là 24 . Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương n sao cho ( )( ) 2 3 4 14 7 S n n n = + + + là một số chính phương. Giải Ta có: 2 4 14 7 ( 3)(4 2) 1 n n n n + + = + + + và n là số nguyên dương nên 3 n + và 2 4 14 7 n n + + là nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, để A là số chính phương thì 2 4 14 7 n n + + và n 3 + phải là số chính phương. Do n Z+ ∈ nên ta có 2 2 2 (2 3) 4 14 7 (2 4) n n n n + ≤ + + < + . 2 2 4 14 7 (2 3) 1. n n n n ⇒ + + = + ⇒ = Khi đó n 3 4 + = là số chính phương. Thử lại, với 1 n = , ta có 2 10 A = . Vậy số nguyên dương cân tìm là 1 n = . Ví dụ 3. Tìm các số nguyên m sao cho 2 12 m + là số chính phương. Giải Đặt 2 2 m 12 n + =với n là số nguyên. Khi đó ta có 2 2 n m 12 (n m)(n m) 12 − = ⇔ − + = .
  • 48. liệu word toán SĐT (zalo): 18 Website: Do m,n là các số nguyên và n m;n m − + là các số chẵn nên ta có các trường hợp như sau  Với n m 6 − = − và n m 2 + = − ta được n 4;m 2 = − = . Với n m 6 + = − và n m 2 − = − ta được n 4;m 2 = − = − . Với n m 6 + =và n m 2 − =ta được n 4;m 2 = = . Với n m 2 + =và n m 6 − =ta được n 4;m 2 = = − . Thử lại ta được các giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là m { 2;2} ∈ − . 3.5. Tìm số chính phương. Phương pháp: - Dạng 1: Bài toán yêu cầu tìm số dưới dạng công thức ... A abcd = , ta phối hợp linh hoạt các kiến thức sau:  Xét chữ số tận cùng của A rồi kết hợp với điều kiện chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; 9 để loại trừ bớt các trường hợp hặc tìm được luôn chữ số tận cùng.  Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 để tìm được số tận cùng hoặc biết được mối liên hệ giữa tổng các chữ số của A để tiếp tục phối hợp với các kỹ thuật khác.  Tính giá trị của A (ví dụ 1000 100 10 A abcd a b c d = = + + + ) từ đó kết hợp với các kỹ thuật khác. - Dạng 2: Các bài được phát biểu dạng lời văn, tùy ta tìm cách đưa về dạng 1 ở trên. Tuy nhiên ta chú ý tới các câu từ để đưa ra chính xác các điều kiện của bài toán. Ví dụ 1. Tìm số chính phương abcd biết 1 ab cd − = . Giải Giả sử 2 100 100(1 ) 101 100, n abcd ab cd cd cd cd n Z = = + = + + = + ∈ . 2 101 100 ( 10)( 10) cd n n n ⇒ ⋅ = − = − + Vì 100 n < và 101 là số nguyên tố nên 10 101 n + = . 91 n ⇒ = Thử lại: 2 91 8281 abcd = = có 82 81 1 − = . Vậy 8281 abcd = . Ví dụ 2. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho chữ số tận cùng là số nguyên tố và căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
  • 49. liệu word toán SĐT (zalo): 19 Website: Giải Gọi số phải tìm là abcd với a;b;c;d là các số tự nhiên và 1 a 9;0 b,c,d 9. ≤ ≤ ≤ ≤ Ta có abcd chính phương d {0,1,4,5,6,9} ⇒ ∈ . Vì d là số nguyên tố d 5 ⇒ =. Đặt 2 k 10000 32 k 100, abcd k N = < ⇒ ≤ < ∈ . Do k là một số có hai chữ số mà 2 k có tận cùng bằng 5 k ⇒ tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương k 45 ⇒ = (vì k tận cùng bằng 5 và có 2 chữ số) 2025 abcd ⇒ = Vậy số phải tìm là: 2025 . Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Giải Gọi số phải tìm là ab với a,b N,1 a 9;0 b 9 ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ Theo giả thiết ta có: 2 2 3 2 (a b) ( ) ( ) ab ab a b a b = + ⇔ = + + . Suy ra a b + là số chính phương. Khi đó ab là một lập phương và a b + là một số chính phương. Vì 10 99 27 ab ab ≤ ≤ ⇒ = hoặc 64 ab = Nêu 27 a b 9 ab = ⇒ + = là số chính phương Nêu 64 a b 10 ab = ⇒ + = không là số chính phương ⇒ loại Vậy số cần tìm là 27. Hết
  • 50. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: SỐ NGUYÊN TỐ ÔN THI CHUYÊN TOÁN – BỒI DƯỠNG HSG PHẦN 1 NỘI DUNG BUỔI HỌC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. Tập hợp các số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 19; 23; 29; 31; … 2. Một số tính chất thường sử dụng về số nguyên tố - Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. - Các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ. - Nếu , m n∈ thỏa . m n p  , với p là số nguyên tố thì m p n p      . - Nếu n∈ thỏa 2 n p  , với p là số nguyên tố thì 2 2 n p  . - Nếu cả hai số tự nhiên m, n đều không chia hết cho số nguyên tố p thì tích m.n không chia hết cho p. - Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 1. Ví dụ: 5 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau vì (5; 8) = 1. - Nếu số tự nhiên A được phân tích 1 2 1 2 . ... n k k k n A p p p = , trong đó 1 2 ; ;..; n p p p là số nguyên tố và 1 2 ; ;..; n k k k ∈ thì số các ước nguyên dương của A là: ( )( ) ( ) 1 2 1 1 ... 1 n k k k + + + . Ví dụ: Số 360 được phân tích 3 2 1 360 2 .3 .5 = , do đó 360 có (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước nguyên dương. II. CÁC DẠNG CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 1. Số nguyên tố và tính chia hết Phương pháp: Kết hợp các kiến thức về tính chia hết và các tính chất sau của số nguyên tố: - Các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ. - Nếu p là số nguyên tố và p > 3 thì 3 p/  nên p sẽ có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2, k ∈ . - Nếu p là số nguyên tố và p > 3 thì trong hai số 1; 1 p p − + phải có một số chia hết cho 3.
  • 51. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: Thật vậy: Vì 1; ; 1 p p p − + là 3 số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có một số chia hết cho 3, mà 3 p/  suy ra trong hai số 1; 1 p p − + phải có một số chia hết cho 3. - Nếu , m n∈ thỏa . m n p  , với p là số nguyên tố thì m p n p      . - Nếu n∈ thỏa 2 n p  , với p là số nguyên tố thì 2 2 n p  . Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu p và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng sẽ chia hết cho 12. Giải +) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 p p p p + + = + = + +) Ta có p là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra p lẻ suy ra p + 1 chẵn ( ) 1 2 2 1 4,(*) p p ⇒ + ⇒ +   +) Ta có p; p + 1; p + 2 là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có một số chia hết cho 3, mà theo giả thiết p và p + 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên p và p + 2 không chia hết cho 3, do đó p + 1 phải chia hết cho 3 ( ) 2 1 3,(**) p ⇒ +  +) Từ (*) và (**) kết hợp với (3; 4) = 1 ta suy ra ( ) 2 1 12 p +  . Ví dụ 2. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 2 1 p − chia hết cho 24. Giải +) Ta có 2 1 ( 1)( 1) p p p − = − + , ta có 1; ; 1 p p p − + là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số này phải có một số chia hết cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 suy ra trong hai số 1; 1 p p − + phải có một số chia hết cho 3 suy ra 2 ( 1)( 1) 3 1 3,(*) p p p − + ⇒ −   +) Ta có p là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra p lẻ, mà 2 1 ( 1)( 1) p p p − = − + đây là tích của hai số chẵn liên tiếp nên tích này chia hết cho 8 2 ( 1)( 1) 8 1 8,(**) p p p − + ⇒ −   +) Từ (*) và (**) kết hợp với (3; 8) = 1 ta suy ra 2 1 p − chia hết cho 24. Ví dụ 3. Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r, với r là hợp số. Tìm r. Giải +) Gọi thương của phép chia là k, theo giả thiết ta có: 42 p k r = + , , k r ∈ ∈   và 0 42 r < < . +) Vì r là hợp số nên . r m n = với m, n là các số nguyên tố. Vì p là số nguyên tố nên m, n không thể là ước của 42 là 2; 3; 7 nên m, n thuộc tập {5; 11; 13; 17; 19; …} mà 0 . 42 m n < < suy ra m = n = 5, khi đó r = 25.
  • 52. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: 2. Kỹ thuật phân tích giải các bài toán về số nguyên tố Phương pháp: - Nếu . p A B = , khi đó p nguyên tố 1 ' 1 ' A B nguyên tô B A nguyên tô  =      ⇔  =     - Để có được phân tích . p A B = ta thường vận dụng kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình lớp 8. Ví dụ 1. Tìm * n∈ để 4 4 n + là một số nguyên tố. Giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n + = + + − = + − = − + + + Do 2 2 2 1 n n + + > nên để 4 4 n + là một số nguyên tố thì 2 2 2 1 1 n n n − + = ⇔ = Với n = 1 ta có 4 4 4 1 4 5 n + = + = là số nguyên tố. Vậy để 4 4 n + là một số nguyên tố thì n = 1. Ví dụ 2. Tìm số nguyên tố p để 2 1 p + là lập phương của một số tự nhiên. Giải +) Giả sử 3 2 1 , p n n += ∈ . Do 2 1 p + là số lẻ suy ra 3 n lẻ suy ra n lẻ 2 1, n k k ⇒ = + ∈ . +) Khi đó ta có ( ) 3 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 8 12 6 1 2 8 12 6 p k p k k k p k k k + = + ⇔ + = + + + ⇔ = + + ( ) 3 2 2 4 6 3 4 6 3 p k k k p k k k ⇔ = + + ⇔ = + + Do 2 4 6 3 1 k k + + > nên để p là số nguyên tố thì 1 k = , khi đó ( ) 2 1. 4.1 6.1 3 13 p = + += (thỏa) +) Kết luận: Để thỏa mãn bài toán thì p = 13. Ví dụ 3. Tìm số nguyên tố p để 13 1 p + là lập phương của một số tự nhiên. Giải +) Giả sử 3 13 1 , p n n += ∈ . Do p nguyên tố nên 3 2 13 1 27 27 3. p p n n ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
  • 53. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: +) Ta có ( )( ) 3 2 13 1 13 1 1 p n p n n n + = ⇒ = − + + , (*). Do 13 và p đều là các số nguyên tố và 2 1 n n + + không phân tích thành nhân tử và 2 1 2; 1 13 n n n − ≥ + + ≥ nên 1 13 1 n n p − =   − =  . +) Với 1 13 14 n n − = ⇔ = thay vào (*) ta có ( )( ) 2 13 14 1 14 14 1 211 p p = − + + ⇔ = là số nguyên tố. +) Với 1 n p − = thay vào (*) ta có ( ) ( )( ) 2 2 3( ) 13 1 1 1 1 13 4( ) n n n n n n n n n l =  − = − + + ⇔ + + = ⇔  = −  Khi đó ta có ( )( ) 2 13 3 1 3 3 1 2 p p = − + + ⇔ = là số nguyên tố. +) Kết luận: Có 2 số nguyên tố thỏa mãn bài toán là 2 và 211. 3. Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Có nhiều dạng câu hỏi loại này, tùy theo câu hỏi ta sử dụng kiến thức một cách phù hợp. Sau đây là một số hướng lập luận thường gặp. - Hướng lập luận 1: Xét trường hợp p là các số nguyên tố đầu tiên (p = 2; p = 3; …) sau đó lập luận từ số nguyên tố 0 p nào đó sẽ không thỏa mãn bài toán. - Hướng lập luận 2: Sử dụng tính chẵn lẻ trên tập số tự nhiên kết hợp với tính chất số nguyên tố lớn hơn 3 là số lẻ.  Tổng hai số nguyên tố lớn hơn 3 luôn là số chẵn, hiệu hai số nguyên tố lớn hơn 3 luôn là số chẵn.  Tổng hai số nguyên tố là số lẻ thì trong hai số này phải có một số chẵn và một số lẻ suy ra phải có một số bằng 2.  Hiệu hai số nguyên tố là số lẻ thì trong hai số này phải có một số chẵn và một số lẻ suy ra phải có một số bằng 2. Ví dụ 1. Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố. Giải +) Với 2 p = ta có p + 10 = 12 không là số nguyên tố (không thỏa mãn). +) Với 3 p = ta có p + 10 = 13 là số nguyên tố và p + 14 = 17 là số nguyên tố, do đó p = 3 thỏa mãn bài toán. +) Khi 3 p > , lấy p chia 3 ta có số dư là 1 và 2 suy ra 3 1 , 3 2 p k k p k = +  ∈ = +  .

mẹo hay

Bài Viết Liên Quan

Hợp pháp hóa lãnh sự tại đại sứ quán năm 2024
Hợp pháp hóa lãnh sự tại đại sứ quán năm 2024

mẹo hay
Cách thanh toán bằng thẻ atm qua pos năm 2024
Cách thanh toán bằng thẻ atm qua pos năm 2024

mẹo hay Mẹo Hay Cách
Bài 44 trang 214 sgk toán 10 nâng cao năm 2024
Bài 44 trang 214 sgk toán 10 nâng cao năm 2024

mẹo hay
Bản đồ vn của trang web nào tốt nhất năm 2024
Bản đồ vn của trang web nào tốt nhất năm 2024

mẹo hay Top List Tốt nhất Review
Công thức và cấu tạo hóa học calcium hydroxide pdf năm 2024
Công thức và cấu tạo hóa học calcium hydroxide pdf năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học Công thức
Trung tâm gia sư nhân văn quận bình thạnh năm 2024
Trung tâm gia sư nhân văn quận bình thạnh năm 2024

mẹo hay
Đã xảy ra lỗi với cảm biến dấu vân tay năm 2024
Đã xảy ra lỗi với cảm biến dấu vân tay năm 2024

mẹo hay
Hóa đơn giá trị gi tăng tiếng anh là gì năm 2024
Hóa đơn giá trị gi tăng tiếng anh là gì năm 2024

mẹo hay Hỏi Đáp Là gì Học Tốt Tiếng anh Cryto Giá
Một số vấn đề về văn hóa ở việt nam năm 2024
Một số vấn đề về văn hóa ở việt nam năm 2024

mẹo hay
Đề thi văn 9 cuối học kì 2 năm 2024
Đề thi văn 9 cuối học kì 2 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Thương tích trên 11 là như the nào năm 2024
Thương tích trên 11 là như the nào năm 2024

mẹo hay
18 tầng địa ngục ở hùa từ văn năm 2024
18 tầng địa ngục ở hùa từ văn năm 2024

mẹo hay
Cơ sở dữ liệu bài tập thị trường chứng khoáng năm 2024
Cơ sở dữ liệu bài tập thị trường chứng khoáng năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập Cryto Thị trường
Lỗi font chữ khi copy từ cad sang word năm 2024
Lỗi font chữ khi copy từ cad sang word năm 2024

mẹo hay
Kid on top of car pose 1 2 năm 2024
Kid on top of car pose 1 2 năm 2024

mẹo hay Top List Top
Khắc phục lỗi chữ dính vào nhau do khác word năm 2024
Khắc phục lỗi chữ dính vào nhau do khác word năm 2024

mẹo hay
Trung tâm truyền thông châu á thái bình dương mỹ năm 2024
Trung tâm truyền thông châu á thái bình dương mỹ năm 2024

mẹo hay
Giải bài tập tiếng việt lớp 3 tuần 27 năm 2024
Giải bài tập tiếng việt lớp 3 tuần 27 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Đề thi học kì 1 toán 11 cơ bản năm 2024
Đề thi học kì 1 toán 11 cơ bản năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Cần mua xe ô tô cũ tại thanh hóa năm 2024
Cần mua xe ô tô cũ tại thanh hóa năm 2024

mẹo hay

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Kỷ luật phó thủ tướng nguyễn văn linh năm 2024
1 ngày trước . bởi SuperiorTemplate
Cty cp dịch vụ máy văn phòng a& d năm 2024
1 ngày trước . bởi HaughtyMotto
Em hỏi anh có khi nào con sông kia năm 2024
1 ngày trước . bởi HappyTheater
Tuyển dụng tại kcn đồng văn hà nam năm 2024
1 ngày trước . bởi ItinerantAircraft
Top 20 vietpop có lượt xem khủng nhất 2023 năm 2024
1 ngày trước . bởi AmbiguousWatchdog
Adobe flash player bị chặn vì đã lỗi thời coccoc năm 2024
1 ngày trước . bởi IncumbentMathematician
Bảo lãnh thanh toán trong hợp đồng mua bán năm 2024
1 ngày trước . bởi TryingAdultery
Nhiệt độ trung bình mùa hè ở việt nam năm 2024
1 ngày trước . bởi UncutScouring
Bệnh viện nào chuyên về tai mũi họng năm 2024
1 ngày trước . bởi HiredVariation
Giải toán 9 đại chương 2 ôn tập cương 2 năm 2024
1 ngày trước . bởi TelescopicOrchestra

Toplist được quan tâm

#1
Top 7 tết mậu thân năm 1968 đã diễn ra sự kiện gì ở miền nam nước ta 2023
7 tháng trước
#2
Top 13 luyện từ và câu: dấu gạch ngang lớp 4 trang 45 2023
7 tháng trước
#3
Top 6 trong mặt phẳng oxy ảnh của đường thẳng d 3x y 4=0 2023
7 tháng trước
#4
Top 6 thử thách thần chết thuyết minh phần 2 2023
7 tháng trước
#5
Top 4 vở bài tập tiếng việt lớp 3 tập 2 chính tả trang 15 2023
7 tháng trước
#6
Top 5 áo khoác nam quảng châu cao cấp 2023
7 tháng trước
#7
Top 4 nội dung nào sau đây không phải là trách nhiệm của đơn vị đầu mối cung cấp thông tin 2023
7 tháng trước
#8
Top 9 mẫu đồng phục công sở đẹp 2022 2023
7 tháng trước
#9
Top 5 ốp lưng iphone 13 pro bảo vệ camera 2023
7 tháng trước

Quảng cáo

Xem Nhiều

Cách chơi đấu trường chân lý top 1 năm 2024
2 ngày trước . bởi CentralCartridge
Top 5 nữ siêu anh hunh phế nhất marvel năm 2024
1 tuần trước . bởi BulgingGirlfriend
Bài tập tiếng anh unit 1 lớp 7 năm 2024
3 ngày trước . bởi AdoptiveLitigation
Đề thi toán vào 10 tp hồ chí minh năm 2024
5 ngày trước . bởi AchingAbsurdity
Nhiệt độ trung bình trạm châu đốc năm 2024
6 ngày trước . bởi SlicedBalls
Hóa đơn giá trị gi tăng tiếng anh là gì năm 2024
3 giờ trước . bởi SelectForefinger
Top thực phẩm giúp phát triển chiều cao năm 2024
1 tuần trước . bởi Blue-greenUprising
Độ tuổi phá thai trung bình ở việt nam năm 2024
1 tuần trước . bởi SaggingIllustration
Cách làm thẻ visa để thanh toán quảng facebook năm 2024
4 ngày trước . bởi UnusedTraveler
Bài tập trắc nghiệm tiếng anh 9 unit 9 10 năm 2024
5 ngày trước . bởi VivaciousVampire

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

DMCA.com Protection Status
Bản quyền © 2021 boxhoidap.com Inc.