Đề bài
Biết rằng ba số \[x, y, z\] lập thành một cấp số nhân và ba số \[x, 2y, 3z\] lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Lời giải chi tiết
Giả sử ba số \[x, y, z\] lập thành một cấp số nhân với công bội \[q\] ta có: \[y = x.q\] và \[z = y.q = x.q^2\].
Ba số \[x, 2y, 3z\] lập thành một cấp số cộng nên:
\[x + 3z = 2. 2y \]
\[ x + 3.[xq^2]= 4.[xq]\]
\[ \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\]
\[ x. [1 + 3q^2 4q] = 0 \]
\[ x = 0\] hoặc \[3q^2 4q + 1 = 0\]
Nếu \[x = 0\] thì \[x = y= z= 0\], \[q\] không xác định [loại]
Nếu \[x 0\] thì \[3q^2-4q + 1 = 0\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Cách khác:
Gọi công bội của CSN \[x ; y ; z\] là \[q\].
\[\Rightarrow {\rm{ }}y = x.q{\rm{ }};{\rm{ }}z = x.{q^2}.\]
Lại có : \[x ; 2y ; 3z\] lập thành CSC
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3z{\rm{ }}-{\rm{ }}2y}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2.xq{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3.x{q^2}\;-{\rm{ }}2.xq}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x\left[ {2q{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}x.\left[ {3{q^2}\;-{\rm{ }}2q} \right]}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x.\left[ {3{q^2}\;-{\rm{ }}4q{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0}
\end{array}\]
+ Nếu\[x = 0{\rm{ }} \Rightarrow y = z = 0\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}q\]không xác định [loại].
+ Nếu \[x \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}3{q^2}--4q + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}q = 1\]hoặc \[q = \frac{1}{3}\]
Vậy CSN có công bội\[q = 1\]hoặc\[q = \frac{1}{3}\]