Đề bài
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \[[\alpha ]\]là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h [0 < h < r] và cắt mặt cầu theo đường tròn [C]. Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên [C] và vuông góc với mặt phẳng\[[\alpha ]\] cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của [C]
a] Chứng minh các tổng AD2+ BC2và AC2+ BD2có giá trị không đổi.
b] Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?
c] Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn [C].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \[A{D^2} + B{C^2} = A{C^2} + B{D^2} = 4{R^2}\]
- Viết công thức tính diện tích tam giác BCD và suy ra GTLN.
- Nhận xét:H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông, từ đó suy ra quỹ tích.
Lời giải chi tiết
a] Tam giác ADC vuông tại A nên AD2= DC2 AC2 [1]
Tam giác ABC vuông tại A nên BC2= AC2+ AB2 [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra AD2+ BC2= DC2+ AB2 [3]
Ta lại có:
AC2= DC2 AD2 và BD2= AD2+ AB2 [4]
DC2= 4[r2 h2] , AB2= 4h2 [5]
Từ [4] và [5] ta có:
AC2+ BD2=DC2+ AB2= 4[r2 h2] + 4h2= 4r2 [6]
Từ [3] và [6] ta có: AD2+ BC2= AC2+ BD2[không đổi]
b] Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD.
Diện tích tam giác BCD bằng \[{S_{\Delta BCD}} = {1 \over 2}BH.DC\]
Ta thấy, \[BH \le BI\] không đổi nên \[{S_{BCD}}\] đạt GTLN khi BH lớn nhất và bằng BI.
Tức là \[BI\bot DC\] \[\Rightarrow DC \bot \left[ {ABI} \right] \Rightarrow DC \bot AI\]
Vậy diện tích tam giác BCD lớn nhất khi AI \[\bot\] CD.
c] Ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot CD\\
BH \bot CD
\end{array} \right.\] \[\Rightarrow CD \bot \left[ {ABH} \right] \Rightarrow CD \bot AH\]
\[ \Rightarrow \widehat {AHI} = {90^0}\]
Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông.
Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng\[[\alpha ]\].