Chứng minh rằng dãy số \[[{u_n}]\] vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Đề bài
Cho dãy số \[[{u_n}]\] xác định bởi
\[{u_1} = 2\] và \[{u_{n + 1}} = 3.u_n^2 - 10\] với mọi \[n \ge 1.\]
Chứng minh rằng dãy số \[[{u_n}]\] vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh \[u_n=2\] [1] với mọi \[n \ge 1.\]
+] Với \[n = 1\] ta có \[u_1=2\]
+] Giả thiết [1] đúng với \[n = k\], tức là: \[{u_k} = 2\]
Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\]
\[{u_{k + 1}} = 3.u_k^2 - 10 = {3.2^2} - 10 = 2\]
Vậy \[{u_n} = 2\] với mọi \[n \ge 1\]