Đề bài
Tính tổng:
\[\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + ... + {1 \over {{3^n}}}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân:
\[{S_n} = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^n}} \right]}}{{1 - q}}\]
Lời giải chi tiết
Cấp số nhân có: \[{u_1}=1 \], \[\displaystyleq ={1 \over 3}\]
S là tổng của \[n+1\] số hạng đầu tiên
\[ \displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}[1 - {q^{n+1}}]} \over {1 - q}} = {{1.\left[ {1 - {{[{1 \over 3}]}^{n+1}}} \right]} \over {1 - {1 \over 3}}} \] \[\displaystyle = {3 \over 2}\left[ {1 - {{[{1 \over 3}]}^{n+1}}} \right]\]
Cách 2:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow 3S = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\\
\Rightarrow 3S = 3 + S - \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow 2S = 3 - \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left[ {3 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right] = \frac{3}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right]
\end{array}\]