Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.
a] Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.
b] Chứng minh rằng DE = EF = FB.
c] Chứng minh ba đường AC, IK, EF đồng quy.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[AI = {1 \over 2}AB\] [I là trung điểm của AB],
\[CK = {1 \over 2}CD\] [K là trung điểm của CD]
Và \[AB = CD\] [ABCD là hình bình hành]
\[ \Rightarrow AI = CK\]
Mà AI // CK \[[AB // CD, I \in AB,\,\,K \in CD]\]
Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.
b] \[\Delta ABE\] có I là trung điểm của AB và \[IF // AE\]
Nên F là trung điểm của EB \[ \Rightarrow BF = EF\,\,\left[ 1 \right]\]
\[\Delta DCF\] có EK // FC và K là trung điểm của CD
Nên E là trung điểm của DF \[ \Rightarrow DE = EF\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[DE = EF = BF\].
c] Gọi H là giao điểm của AC và BD [3]
\[ \Rightarrow H\] là trung điểm của AC [ABCD là hình bình hành]
Hình bình hành AICK có H là trung điểm của AC nên H là trung điểm của IK.
\[ \Rightarrow IK\] đi qua H [4]
Từ [3] và [4] \[ \Rightarrow AC,IK,EF\] đồng quy tại H.