Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO cắt [O] và [O] lần lượt tại B và C [khác A]. Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của [O] và [O]. Trong đó, \[D [O], E [O]\]. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng :
a. \[\widehat {DHE} = 90^\circ \]
b. HA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [O] và [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Ta chứng minh tổng hai góc B và C bằng 90 độ từ đó suy ra DHE bằng 90 độ
b.Chứng minh HDAE là hình chữ nhật suy ra tam giác ODI bằng tam giác OAI
=>IA vuông góc với BC
Lời giải chi tiết
a. DE là tiếp tuyến chung ngoài của [O] và [O] nên \[DE OD\].
và \[DE OE OD // OE.\]
Do đó: \[\widehat {DOO'} + \widehat {EO'O} = 180^\circ \] [cặp góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow \widehat {DOB} + \widehat {EO'C} = 180^\circ \]
Các tam giác BOD và COE cân tại O và O nên:
\[2\widehat B + 2\widehat C = 180^\circ \]
\[\Rightarrow 2\left[ {\widehat B + \widehat C} \right] = 180^\circ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Trong tam giác BHC ta có \[\widehat {BHC} = 90^\circ \,\,hay\,\,\widehat {DHE} = 90^\circ .\]
b. Dễ thấy tứ giác HDAE là hình chữ nhật [có ba góc vuông].
Gọi I là giao điểm hai đường chéo AH và DE, ta có \[ID = IA\] [ tính chất hai đường chéo hình chữ nhật].
Các tam giác ODI và OAI có : OI chung, \[DI = AI\] [cmt], \[OD = OA [=R]\]
Vậy \[ODI = OAI\] [c.c.c]
\[ \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {ODI} = 90^\circ \] hay \[IA BC\] tại A
\[ HA\] là tiếp tuyến chung của [O] và [O]