- LG a
- LG b
Cho dãy số\[[{u_n}]\] xác định bởi
\[{u_1} = 1\] và \[{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\] với mọi \[n \ge 1.\]
Xét dãy số \[[{v_n}],\] mà \[{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\] với mọi \[n \ge 1.\]
LG a
Chứng minh rằng dãy số \[[{v_n}]\] là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\] suy ra \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\] với mọi \[n \ge 1.\]
Do đó
\[{v_n} = 2n - 1\,\,\,\,\left[ {\forall n \ge 1} \right].\]
Suy ra \[{v_{n + 1}} - {v_n} = [2[n + 1] - 1] - [2n - 1] \]\[= 2\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, \[[{v_n}]\] là một cấp cộng với số hạng đầu \[{v_1} = 1\] và công sai bằng 2.
LG b
Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số\[[{v_n}]\] theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số \[[{u_n}]\].
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \[{S_N}\] là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \[[{v_n}]\]. Từ kết quả phần a] , ta có
\[{S_N} = {{N.\left[ {2.1 + \left[ {N - 1} \right].2} \right]} \over 2} = {N^2}\,\,\,\,[1]\]
Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a] bài tập 3.76, ta chứng minh được
\[{S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\forall N \ge 1} \right]\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] , ta được : \[{u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\] hay \[{u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left[ {\forall N \ge 1} \right].\,\] Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \[[{u_n}]\] là : \[{u_n} = {\left[ {n - 1} \right]^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\]