VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn: Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn [O;R] ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Nếu biết một giao điểm A của d và [O] thì ta chứng minh OA ⊥ d. Cách 2: Hạ OA vuông góc với d, ta đi chứng minh OA = R. Ví dụ 1. Cho 4ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng 1 Đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn [O]. 2 Ba đường thẳng AC, BD và ON cùng đi qua một điểm. Lời giải. C I D N B O A 1 Vì 4ABC cân tại A nên OA ⊥ BC. Vì ABCD là hình bình hành nên AD ∥ BC ⇒ AD ⊥ OA. Điều này chứng tỏ AD là tiếp tuyến của đường tròn [O]. 2 Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra I là trung điểm AC ⇒ OI ⊥ AC. Mặt khác, 4AON = 4CON ⇒ OA = OC và N A = NC. Do đó NO là trung trực AC ⇒ ON ⊥ AC. Vậy nên I ON, suy ra AC, BD, ON cùng đi qua điểm I. Nhận xét. 1 Như vậy, trong ví dụ trên để chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn [O], ta chỉ cần chứng minh AD ⊥ OA bởi A [O]. 2 Với yêu cầu ngược lại “Tìm điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn [O;R]” ta cần có d[O,d] = R. Ví dụ 2. Cho đường tròn [O], đường kính AB. Vẽ CD vuông góc với OA tại trung điểm I của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn tại C và tại D cắt nhau ở M. 1 Chứng minh rằng ba điểm M, A, B thẳng hàng. 2 Tứ giác OCAD là hình gì? 3 Tính CMD. 4 Chứng minh rằng đường thẳng MC là tiếp tuyến của đường tròn [B;BI]. Lời giải. A C M K D I O B 1 Ta có AB là đường kính vuông góc với CD nên AB là đường trung trực của CD. Ta lại có MC = MD [do 4MDO = 4MCO] nên M thuộc trung trực của CD, tức là M AB. Do đó M, A, B thẳng hàng. 2 Tứ giác OC AD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên OCAD là hình thoi. 3 Trong 4AOC ta có OA = OC = C A ⇔ 4OAC là tam giác đều. Do đó AOC = 60◦ ⇒ CMO = 30◦ ⇒ CMD = 60◦. 4 Hạ BK vuông góc với MC, ta có MCA = DC A = 30◦ ⇒ C A là phân giác của góc MCD. Ta lại có AC ⊥ BC nên CB là phân giác góc KCD ⇒ BI = BK. Do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn [B;BI].
Nhận xét. 1 Ở câu a], để chứng minh M, A, B thẳng hàng chúng ta xác định vị trí của chúng đối với CD và cụ thể chúng nằm trên đường trung trực của CD do đó xuất phát từ nhận xét AB là trung trực của CD chúng ta chỉ cần chứng minh M cũng thuộc trung trực của CD, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi MC = MD. 2 Ở câu b], chúng ta sử dụng kết quả “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường”. 3 Ở câu c], chúng ta sử dụng kết quả câu b] và tính chất của tiếp tuyến đường tròn. 4 Ở câu d] chúng ta sử dụng kết quả về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn để đưa ra kết luận cho tiếp tuyến MC và dễ thấy MD cũng là tiếp tuyến của [B;BI]. 5 Các kết quả ở câu a] và câu d] vẫn đúng nếu thay điều kiện “trung điểm I của OA” bới “I nằm giữa O và A”. Trong trường hợp này ta chứng minh MC A = ACD bằng nhận xét MC A phụ với ACO, ACD phụ với C AO, mà ACO = C AO.
Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
I. Hướng dẫn giải
Phương pháp chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyển của đường tròn [O; R]:
– Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.
– Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.
– Cách 3: Chứng minh hệ thức = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
II. Bài tập mẫu
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhai tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Giải
Gọi O là trung điểm của AH.
Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:
Tam giác AEH vuông tại E và có EO là trung tuyến nên ta có:
Suy ra: OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Ta có:
[tam giác OAD cân tại O]
Tam giác BDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên:
Suy ra: tam giác ICD cân tại I
Do đó:
H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH ⊥ BC tại F.
Khi đó:
Từ [1], [2] và [3] ta có:
Ta có: OD ⊥ DI, D thuộc đường tròn [O] nên ID tiếp xúc với [O] tại D.
Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với [O] tại E.
Bài 2. Cho đường tròn [O] đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng nửa mặt phẳng bở là đường thẳng AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho góc COD bằng . Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn [O].
Giải
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống CD.
Ta chứng minh OH = OB = R [O]
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.
Xét △OAC và △OBE có:
OA =OB [=R]
Nên: △OAC = △OBF [g.c.g] ⇒ OC = OE
Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường phân giác.
Ta có: OH ⊥ CD, OH = OB = R [O] nên CD tiếp xúc với [O] tại H.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vuông góc với AB tại M và cắt [O] tại N.
a. Chứng minh AM.AN =
b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tiếp xúc với AC tại C.
Giải
a. Tứ giác OBNM có góc O bằng góc N bằng nên nội tiếp đường tròn.
BO và MN là hai dây của đường tròn đó cắt nhau tại A.
Do đó: AM.AN = AO.AB [1]
Mặt khác: △ACB vuông tại C có CO là đường cao
Nên: [2]
Từ [1] và [2] suy ra AM. AN = .
b. Giả sử đường tròn ngoại tiếp △CMN cắt AC tại C’.
Ta có: AC.AC’ = AM.AN
Theo câu a ta có: AM.AN =
Nên AC. AC’ =
⇒ AC’ = AC ⇒ C’ trùng với C.
Chứng tỏ AC chỉ cắt đường tròn ngoại tiếp △CMN tại một điểm duy nhất là C.
Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp △CMN.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho
Khi đó:
a. CD tiếp xúc với đường tròn [O]
b. CD cắt đường tròn [O]
c. CD không có điểm chung với [O]
d. CD =
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:
a. AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
b. BK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
c. BH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
d. HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Bài 3. Cho đường tròn [O] đường kính AB, lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn [O] tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?
a. BN là tiếp tuyến của đường tròn [O]
b. BC là tiếp tuyến của đường tròn [O, OH]
c. OC là tiếp tuyến của đường tròn [O, ON]
d. AC là tiếp tuyến của đường tròn [C, BC]
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:
a. EF là tiếp tuyến của đường tròn [H, HI]
c. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [J].
d. IF là tiếp tuyến của đường tròn [C, CF].
Bài 5. Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng hai tiếp tuyến Ax và By. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia Ay lấy điểm D. Điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn [O] là:
a.
b.
c.
d.
Bài 6. Cho đường tròn [O, R] đường kính AB. Vẽ dây cung AC sao cho góc CAB bằng . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Khi đó:
a. AM là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b. BM là tiếp tuyến của đường tròn [O].
c. CM là tiếp tuyến của đường tròn [O].
d. AB là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Bài 7. Cho hình vuông ABCD. Một đường tròn tâm O tiếp xúc với các đường thẳng AB, AD và cắt mỗi cạnh BC, CD thanh hai đoạn có độ dài 2cm và 23cm. Bán kính R của đường tròn có độ dài bằng:
a. R = 15cm hoặc 35cm
b. R = 16cm hoặc 36cm
c. R = 17cm hoặc 37cm
d. R = 18cm hoặc 38cm
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8cm; AC = 15cm. Vẽ đường cao AH, gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt CA ở E. Khi đó, độ dài đoạn thẳng HE bằng:
a. HE = 7cm
d. HE = 8cm
Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.