Đề bài
Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức \[A, H, N, O\] với:
\[\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}}\\H = \lim [\sqrt {{n^2} + 2n} - n]\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}}\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}}.\end{array}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
A: Chia cả tử và mẫu cho \[n\].
H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho \[n\].
N: Chia cả tử và mẫu cho \[n\].
O: Chia cả tử và mẫu cho \[4^n\].
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}} = \lim \dfrac{{n[3 - \dfrac{1}{n}]}}{{n[1 + \dfrac{2}{n}]}} \\= \lim \dfrac{{3 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} = \dfrac{{3 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{1 + \lim \dfrac{2}{n}}}= 3\\H = \lim [\sqrt {{n^2} + 2n} - n] = \lim \dfrac{{[{n^2} + 2n] - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{n\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1} \right]}} = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} \\ = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \lim \dfrac{2}{n}} + 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 0} + 1}}= 1\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n - 2}}{{3n + 7}} = \lim \dfrac{{n[\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n}]}}{{n[3 + \dfrac{7}{n}]}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{n}} - \dfrac{2}{n}}}{{3 + \dfrac{7}{n}}} = \dfrac{{\sqrt {\lim \dfrac{1}{n}} - \lim \dfrac{2}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{7}{n}}} \\= \dfrac{{0 - 0}}{{3 + 0}}=0\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}} = \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {{{[\dfrac{3}{4}]}^n} - 5} \right]}}{{{4^n}\left[ {{{[\dfrac{1}{4}]}^n} - 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{[\dfrac{3}{4}]}^n} - 5}}{{{{[\dfrac{1}{4}]}^n} - 1}} = \dfrac{{\lim {{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} - 5}}{{\lim {{\left[ {\dfrac{1}{4}} \right]}^n} - 1}} \\= \dfrac{{0 - 5}}{{0 - 1}}= 5\end{array}\]
Vậy số \[1530\] là mã số của chữ \[HOAN\].