Đề bài
Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy N. BN cắt AC ở D, CN cắt AB ở E. Chứng minh BEDC là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang
Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
\[\Delta ABC\] cân có AM là đường trung tuyến [gt] \[ \Rightarrow AM\] cũng là đường trung trực của BC.
N thuộc AM \[ \Rightarrow NB = NC\] hay \[\Delta NBC\] cân tại N \[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\]
Xét \[\Delta BEC\] và \[\Delta CDB\] có
\[\widehat B = \widehat C\] [gt]
BC chung
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}[cmt]\]
\[\Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB[g.c.g]\]
\[ \Rightarrow EB = DC\]
Mà \[AB = AC[gt] \] \[\Rightarrow AB - EB = AC - DC\]
Hay AE = AD.
Từ đó \[\Delta AED\] cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ADE} =\dfrac {{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{2}\]
Với \[\Delta ABC\] có: \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{2} \] \[\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ABC}\]
Do đó \[ED// BC\] [cặp góc đồng vị bằng nhau] nên BEDC là hình thang.
Lại có \[\widehat B = \widehat C\] [gt].
Vậy BEDC là hình thang cân.