Đề bài
Trên đường tròn [O] lấy hai điểm A, B. Hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M [xem hình bên]. Hãy chứng minh AB vuông góc với OM rồi so sánh các góc \[\widehat {BAM},\widehat {AOM},\widehat {BOM}\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[OA = OB = R \Rightarrow O\] thuộc trung trực của AB
\[MA = MB\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau] \[ \Rightarrow M\] thuộc trung trực của AB.
Từ đó suy ra OM là đường trung trực của AB \[ \Rightarrow OM \bot AB\].
Gọi \[H = OM \cap AB\] ta có:
\[\widehat {BAM} + \widehat {AOB} = \widehat {AOM} = {90^0}\] [do AM là tiếp tuyến của [O] nên \[AM \bot OA\]]
Tam giác OAH vuông tại H nên \[\widehat {AOM} + \widehat {AOB} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông thì phụ nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {AOM}\].
Lại có \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
Vậy \[\widehat {BAM} = \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\] [đpcm].