Đề bài
Giải và biện luận phương trình\[f'\left[ x \right] = 0\]biết rằng
\[f\left[ x \right] = 2\sin x + 2\left[ {1 - 2m} \right]\cos x - 2mx\]
Lời giải chi tiết
Với mọi \[x \in R\], ta có
\[\eqalign{& f'\left[ x \right] = 2\cos 2x - 2\left[ {1 - 2m} \right]\sin x - 2m \cr& f'\left[ x \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {1 - 2{{\sin }^2}x} \right] - \left[ {1 - 2m} \right]\sin x - m = 0 \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left[ {1 - 2m} \right]\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Ta có \[\Delta = {\left[ {1 - 2m} \right]^2} - 8m + 8 \]
\[= 4{m^2} - 12m + 9 = {\left[ {2m - 3} \right]^2}\]
Vậy
\[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left[ {2m - 1} \right] - \left[ {2m - 3} \right]} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr\sin x = {{\left[ {2m - 1} \right] + \left[ {2m - 3} \right]} \over 4} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \hfill \cr} \right.\]
Giải [2], ta được
\[\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\]
\[ \bullet \] Giải [3], với điều kiện \[ - 1 \le m - 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,\] ta được
\[\sin x = m - 1 = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,[5]\]
Kết luận
a] Nếu \[m < 0\] hoặc \[m > 2\] thì phương trình \[f'\left[ x \right] = 0\] có các nghiệm là [4]
b] Nếu \[0 \le m \le 2\] thì phương trình \[f'\left[ x \right] = 0\] có các nghiệm là [4] và [5].