Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho hình lập phương \[\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \[\displaystyle a\]. Gọi \[\displaystyle M\] là trung điểm của \[\displaystyle A'B', N\] là trung điểm của \[\displaystyle BC\].
LG a
a] Tính thể tích khối tứ diện \[\displaystyle ADMN\].
Phương pháp giải:
Coi khối tứ diện \[ADMN\] có đỉnh \[M\] và đáy \[ADN\]. Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp:\[{V_{ADMN}} = {V_{M.ADN}} = \frac{1}{3}d\left[ {M;\left[ {ADN} \right]} \right].{S_{ADN}}\]
Lời giải chi tiết:
a] Ta tính thể tích hình chóp \[\displaystyle M.ADN\]. Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng [ANCD] bằng \[\displaystyle a\] và diện tích đáy\[\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\]
\[\displaystyle\Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left[ {M;\left[ {ADN} \right]} \right].{S_{ADN}} \] \[\displaystyle= \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\]
LG b
b] Mặt phẳng \[\displaystyle [DMN]\] chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \[\displaystyle [H]\] là khối đa diện chứa đỉnh \[\displaystyle A, [H']\] là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \[\displaystyle {{{V_{[H]}}} \over {{V_{[H']}}}}\].
Phương pháp giải:
Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng \[[DMN]\], xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \[\displaystyle [DMN]\].
Do \[\displaystyle [ABCD] // [A'B'C'D']\] nên \[\displaystyle [DMN]\] cắt \[\displaystyle [A'B'C'D']\] theo một giao tuyến song song với \[\displaystyle DN\]. Ta dựng thiết diện như sau:
- Từ \[\displaystyle M\] kẻ đường thẳng song song với \[\displaystyle DN\], đường này cắt cạnh \[\displaystyle A'D'\] tại điểm \[\displaystyle P\] và cắt đường thẳng \[\displaystyle C'B'\] tại điểm \[\displaystyle Q\]. Trong mặt phẳng \[\displaystyle [BCC'B']\] thì \[\displaystyle QN\] cắt cạnh \[\displaystyle BB'\] tại điểm \[\displaystyle R\]; đa giác \[\displaystyle DNRMP\] chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \[\displaystyle [DMN]\].
- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện \[\displaystyle ABNDPMR\]. Ta có:\[{V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}} \] \[= {V_1} + {V_2} + {V_3}\]
Hình chóp \[\displaystyle M.ABND\], có đường cao bằng \[\displaystyle a\], diện tích đáy là hình thang \[\displaystyle ABND\] là: \[\displaystyle {1 \over 2}\left[ {{a \over 2} + a} \right].a = {{3{a^2}} \over 4}\]
Suy ra: \[\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}\]
Dễ dàng chứng minh được \[\displaystyle \Delta CND\] và \[\displaystyle \Delta A'PM\] đồng dạng [g.g] nên\[\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}\]
Hình chóp \[\displaystyle M.AA'PD\] có chiều cao \[\displaystyle {a \over 2}\]và diện tích hình thang \[\displaystyle AA'PD\] là: \[\displaystyle {1 \over 2}\left[ {{a \over 4} + a} \right].a = {{5{a^2}} \over 8}\]
Suy ra: \[\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}\]
Ta có: \[\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P\]
\[\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}\]
Diện tích tam giác \[\displaystyle NRB\] là: \[\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}\]
Hình chóp \[\displaystyle M.NRB\] có chiều cao \[\displaystyle {a \over 2}\]và diện tích đáy \[\displaystyle {{{a^2}} \over 6}\] nên:
\[\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}\]
\[\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3} \] \[\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}\]
Thể tích phần còn lại là: \[\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}\]
Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \[\displaystyle {{55} \over {89}}\]