Đề bài
Tìm tất cả các mẫu số liệu kích thước 5 có các tính chất sau:
- Các số liệu trong mẫu là các số nguyên dương.
- Số trung bình là 12, số trung vị và mốt đều bằng 8.
- Biên độ [hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của mẫu] bằng 18.
Lời giải chi tiết
Gọi số bé nhất là a. Số lớn nhất là \[a + 18 > 8\]. Vậy có thể xảy ra hai trường hợp sau
Trường hợp 1. Mẫu là \[a;b;8;8;a + 18\] [sắp xếp theo thứ tự tăng dần]
Khi đó tổng các số liệu là \[2a + b + 34 = 12 \times 5 = 60\], suy ra \[2a + b = 26.\] Vì \[a \le 8;b \le 8\] nên \[2a + b \le 24.\] Vậy trường hợp này không xảy ra.
Trường hợp 2. Mẫu là \[a;8;8;b;a + 18\][sắp xếp theo thứ tự tăng dần].
Khi đó tổng các số liệu \[2a + b + 34 = 12 \times 5 = 60.\] Suy ra \[2a + b = 26\] hay \[b = 26 - 2a = 2\left[ {13 - a} \right]\].
Vậy b chẵn, tức là b có dạng \[b = 2c.\] Suy ra \[c = 13 - a.\] Vì \[b \le a + 18\] và \[a = 13 - c\] nên \[2c \le 13 - c + 18 = 31 - c.\] Vậy \[3c \le 31\] hay \[c \le 10.\] Vif \[a \le 8\] nên \[c \ge 13 - 8 = 5\]. Khi đó \[b \ge 10 > 8\]
Tóm lại \[5 \le c \le 10.\] Như vậy ta có 6 mẫu thỏa mãn điều kiện đã nêu là \[\left\{ {13 - c;8;8;2c;31 - c} \right\}\] trong đó \[c \in \left\{ {5,6,7,8,9,10} \right\}.\] Cụ thể là các mẫu
\[\begin{array}{l}\left\{ {8;8;8;10;26} \right\},\\\left\{ {7,8,8,12,25} \right\},\\\left\{ {6;8;8;14;24} \right\},\\\left\{ {5;8;8;16;23} \right\},\\\left\{ {4;8;8;18;22} \right\},\\\left\{ {3;8;8;20;21} \right\}.\end{array}\]