Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
a] Hãy xác định đường thẳng \[\Delta \] cắt cả hai đường thẳng AC1và BA1đồng thời song song với B1D1.
b] Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AC1và BA1. Tính tỉ số \[{{AI} \over {A{C_1}}}\].
Lời giải chi tiết
a] Giả sử đã xác định được đường thẳng \[\Delta \] cắt AC1và BA1lần lượt tại I và J.
Xét phép chiếu song song lên mp[ABB1A1] theo phương chiếu D1B1. Khi đó, hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A, I, C1lần lượt là ba điểm thẳng hàng A, J, K. Mặt khác J thuộc BA1, nên J chính là giao điểm của AK và BA1.
Từ đó, ta có cách dựng đường thẳng \[\Delta \] theo các bước sau đây:
- Dựng điểm K là hình chiếu của C1[theo phương chiếu D1B1].
- Lấy giao điểm J của AK và BA1.
- Qua J dựng đường thẳng \[\Delta \] // C1K [ đã có C1K // B1D1] ta được đường thẳng \[\Delta \] cần tìm.
b] Dễ thấy \[{A_1}{B_1} = {B_1}K \Rightarrow {A_1}K = 2AB\] [do A1B1= AB].
Vì AB // A1K \[\Rightarrow {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {{AB} \over {{A_1}K}} = {1 \over 2}\].
Mặt khác IJ // C1K \[\Rightarrow {{AI} \over {I{C_1}}} = {{{\rm{AJ}}} \over {JK}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AI} \over {A{C_1}}} = {1 \over 3}\].