Đề bài
Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng \[9cm\]. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ \[6 : 5\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\]
+] \[A{C^2} = CH.BC\]
Lời giải chi tiết
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] với \[AB > AC\], gọi \[AH\] là đường cao kẻ từ \[A\] thì ta có:
\[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{5},HB = 9.\]
Suy ra: \[HC=BC-HB=BC-9\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có: \[A{B^2} = BH.BC\] và \[A{C^2} = CH.BC\]
Suy ra \[\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \dfrac{{BH}}{{CH}}\]
Hay \[ \dfrac{{BH}}{{CH}} =\left [\dfrac{{A{B}}}{{A{C}}}\right]^2=\left [\dfrac{6}{{5}}\right]^2= \dfrac{{36}}{{25}}\]
Suy ra \[\dfrac{9}{{BC - 9}} = \dfrac{{36}}{{25}}\]
\[\Rightarrow BC - 9 = \dfrac{{25}}{4}\] \[\Rightarrow BC = \dfrac{{61}}{4} = 15\dfrac{1}{4}\left[ {cm} \right]\].