Đề bài
Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau [O] và [O]. Trên [O] lấy hai bán kính vuông góc OA, OB và trên [O] lấy hai bán kính vuông góc OA, OB sao cho A, A nằm trên đường thẳng OO và hai vectơ \[\overrightarrow {OA} \] và \[\overrightarrow {O'A'} \] cùng hướng, còn hai vectơ \[\overrightarrow {OB} \] và \[\overrightarrow {O'B'} \] ngược hướng.
a] Chứng minh rằng có phép dời hình F biến đường tròn [O] thành [O] sao cho hai điểm A, B lần lượt biến thành hai điểm A, B.
b] Với mỗi điểm M nằm trên [O] và ảnh M của nó qua phép dời hình F, chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MM nằm trên một đường thẳng cố định.
Lời giải chi tiết
a] Vì hai tam giác OAB và OAB bằng nhau nên có phép dời hình F biến O thành O, biến A thành A và biến B thành B. Hiển nhiên F cũng biến [O] thành [O].
b] Gọi f là phép đối xứng trượt có trục OO và vectơ trượt là \[\overrightarrow v = \overrightarrow {OO'} \] thì rõ ràng f biến O, A, B lần lượt thành O, A, B. Vậy f trùng F.
Từ đó, suy ra trung điểm của MM luôn luôn nằm trên đường thẳng OO.