Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\] có \[α\] là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng:
\[{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD.\sin a.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: \[\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\] với tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] [hình vẽ]
Diện tích tam giác ABC có đường cao AH:
\[S = \dfrac{1}{2}AH.BC.\]
Lời giải chi tiết
Giả sử hai đường chéo \[ AC, BD\] cắt nhau tại \[I\], \[\widehat {AIB} = \alpha \]là góc nhọn.
Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABD\] và đường cao \[CK\] của tam giác \[CBD\].
Xét tam gác AHI vuông tại H ta có:\[\sin \widehat {AIH} = \dfrac{{AH}}{{AI}} \Rightarrow AH = AI.\sin \alpha \]
Lại có\[\widehat {DIC} = \widehat {AIB} = \alpha \] [hai góc đối đỉnh]
Xét tam gác CKI vuông tại I ta có:\[\sin \widehat {CIK} = \dfrac{{CK}}{{CI}} \Rightarrow CK = CI.\sin \alpha \]
Diện tích tam giác \[ABD\] là \[{S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH,\]
Diện tích tam giác \[CBD\] là: \[{S_{CBD}} = \dfrac{1}{ 2}BD.CK.\]
Từ đó diện tích \[S\] của tứ giác\[ ABCD\] là:
\[\eqalign{
& S = {S_{ABD}} + {S_{CBD}} \cr
& = {1 \over 2}BD.[AH + CK] \cr& = {1 \over 2}BD.[AI.\sin \alpha + CI.\sin \alpha] \cr
& = {1 \over 2}BD.[AI + CI].\sin \alpha \cr
& = {1 \over 2}{\rm{BC}}{\rm{.AC.s}}in\alpha \cr} \]