Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[\widehat A = 100^\circ\]. Lấy điểm \[M\] thuộc cạnh \[AB\], điểm \[N\] thuộc cạnh \[AC\] sao cho \[AM = AN.\] Chứng minh rằng \[MN // BC\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau thì là tam giác cân.
- Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
- Tổng ba góc của một tam giác bằng \[180^o\].
Lời giải chi tiết
Vì \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat B = \widehat C\]
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \[\Delta ABC\], ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \]
\[ \widehat A + 2\widehat B = {180^o} \]
\[\Rightarrow \widehat B = \dfrac{{{{180}^\circ } - \widehat A}}{2}\]
\[ \;\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{{{180}^\circ } - {{100}^\circ }}}{2} = {40^\circ }\] [1]
Ta có \[AM = AN\] [gt] nên \[AMN\] cân tại \[A\].
\[\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM}\]
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \[\Delta AMN\], ta có:
\[\widehat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^o}\]
\[\widehat A + 2\widehat {AMN} = {180^o} \]
\[\Rightarrow \widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^\circ } - \widehat A}}{2} \]\[\,= \dfrac{{{{180}^\circ } - {{100}^\circ }}}{2}\]\[\, = {40^\circ }\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B = \widehat {AMN}=40^o\]
Mà\[\widehat B \] và \[ \widehat {AMN}\] ở vị trí đồng vị nên \[MN // BC\].