Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD.\] Gọi \[E, F, I\] theo thứ tự là trung điểm của \[AD,\] \[BC,\] \[AC.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[EI// CD,\] \[IF // AB.\]
\[b]\] \[EF \le \displaystyle {{AB + CD} \over 2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[a]\] Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:
+] Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểmhai cạnh của tam giác.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
\[b]\] Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong tam giác \[ADC,\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AD\;\; [gt]\]
\[I\] là trung điểm của \[AC\;\; [gt]\]
Nên \[EI\] là đường trung bình của \[ ADC\]
\[ EI // CD\] [tính chất đường trung bình của tam giác] và \[EI =\displaystyle {{CD} \over 2}\]
Trong tam giác \[ABC\] ta có:
\[I\] là trung điểm của \[AC\]
\[F\] là trung điểm của \[BC\]
Nên \[IF\] là đường trung bình của \[ ABC\]
\[ IF // AB\] [tính chất đường trung bình của tam giác] và \[IF = \displaystyle{{AB} \over 2}\]
\[b]\] Trong \[ EIF\] ta có: \[EF EI + IF\] [dấu \[=\] xảy ra khi \[E, I, F\] thẳng hàng]
Mà \[EI =\displaystyle {{CD} \over 2}{\rm{;}}\,\,IF{\rm{ = }}{{AB} \over 2}\][chứng minh trên]
\[\Rightarrow {\rm{EF}} \le\displaystyle {{CD} \over 2} + {{AB} \over 2}\]
Vậy \[EF \le \displaystyle{{AB + CD} \over 2}\] [dấu bằng xảy ra khi \[AB // CD\]]