Đề bài
Trên hình \[11,\] cho \[ABCD\] là hình bình hành. Chứng minh rằng:
\[a]\] \[EGFH\] là hình bình hành
\[b]\] Các đường thẳng \[AC,\]\[ BD,\] \[EF,\] \[GH\] đồng quy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.
+] Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+] Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+] Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Vì ABCD là hình bình hành nên \[AB//CD, AB=CD,\] \[AD//BC, AD=BC\] [tính chất]
+] Ta có: \[EB=AB-AE,DF=CD-CF\] mà \[AB=CD, AE=CF\] [gt] nên \[EB=DF\]
+] Ta có: \[AH=AD-DH, CG=BC-BG\] mà \[AD=BC, DH=BG\] [gt] nên \[AH=CG\]
Xét \[AEH\] và \[CFG:\]
\[AE = CF\] [gt]
\[\widehat A = \widehat C\] [tính chất hình bình hành ABCD]
\[AH = CG\] [cmt]
Do đó: \[AEH = CFG \;\;[c.g.c]\]
\[EH = FG\] [1]
Xét \[BEG\] và \[DFH:\]
\[DH = BG \;\;[gt]\]
\[\widehat B = \widehat D\] [tính chất hình bình hành ABCD]
\[BE = DF \] [cmt]
Do đó: \[BEG = DFH\;\; [c.g.c]\]
\[EG = FH\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: Tứ giác \[EGFH\] là hình bình hành [vì có các cặp cạnh đối bằng nhau]
\[b]\] Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[EF.\]
Xét tứ giác \[AECF,\] có:
\[AE // CF\] [do \[AB // CD ]\] và \[AE = CF\;\; [gt]\]
Suy ra: Tứ giác \[AECF\] là hình bình hành [vì có \[1\] cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
\[O\] là trung điểm của \[AC\] và \[EF\]
Tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành có \[O\] là trung điểm của \[AC\] nên \[O\] cũng là trung điểm của \[BD.\]
Tứ giác \[EGFH\] là hình bình hành có \[O\] là trung điểm của \[EF\] nên \[O\] cùng là trung điểm của \[GH.\]
Vậy \[AC, BD, EF, GH\] đồng quy tại \[O.\]