Đề bài
Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tao thành một hình chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết
Giả sử ABCD là hình bình hành.
Gọi \[G,\, H,\, E, \,K\] lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của \[\widehat A\] và \[\widehat B\]; \[\widehat B\] và \[\widehat C\]; \[\widehat C\] và \[\widehat D\]; \[\widehat D\] và \[\widehat A\].
Ta có: \[\widehat {ADF} = \eqalign{1 \over 2}\widehat {ADC}\] [tính chất tia phân giác]
\[\widehat {DAF} =\eqalign {1 \over 2}\widehat {DAB}\][tính chất tia phân giác]
\[\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
Suy ra: \[\widehat {ADF} + \widehat {DAF} = \eqalign{1 \over 2}\left[ {\widehat {ADC} + \widehat {DAB}} \right]\] \[=\eqalign {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\]
Trong \[ AFD\] ta có:
\[\widehat {AFD} = {180^0} - \left[ {\widehat {ADF} + \widehat {DAF}} \right] \] \[= {180^0} - {90^0} = {90^0}\]
\[\widehat {EFG} = \widehat {AFD}\] [đối đỉnh]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {EFG} = {90^0} \cr & \widehat {GAB} = \eqalign{1 \over 2}\widehat {DAB}[gt] \cr & \widehat {GBA} = {1 \over 2}\widehat {CBA}[gt] \cr} \]
\[\widehat {DAB} + \widehat {CBA} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow \widehat {GBA} + \widehat {GAB}\] \[= \eqalign{1 \over 2}\left[ {\widehat {DAB} + \widehat {CBA}} \right]\] \[= \eqalign{1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\]
Trong \[ AGB\] ta có: \[\widehat {AGB} = {180^0} - \left[ {\widehat {GAB} + \widehat {GBA}} \right] \] \[= {180^0} - {90^0} = {90^0}\]
hay \[\widehat G = {90^0}\]
\[\eqalign{ & \widehat {EDC} = \eqalign{1 \over 2}\widehat {ADC}[gt] \cr & \widehat {ECD} =\eqalign {1 \over 2}\widehat {BCD}[gt] \cr} \]
\[\widehat {ADC} + \widehat {BCD} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow \widehat {EDC} + \widehat {ECD} \] \[= \eqalign{1 \over 2}\left[ {\widehat {ADC} + \widehat {BCD}} \right] \] \[= \eqalign{1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\]
Trong \[ EDC\] ta có: \[\widehat {DEC} = {180^0} - \left[ {\widehat {EDC} + \widehat {ECD}} \right]\] \[= {180^0} - {90^0} = {90^0}\] hay \[\widehat E = {90^0}\]
Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông].