- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
Giá trị của biểu thức \[\displaystyle {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\]\[:\displaystyle\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left[ {{1 \over x} + 1} \right]} \right]\] bằng \[1\] với mọi giá trị \[x 0\] và \[x -1\]
Phương pháp giải:
Thực hiện các phép tính với phân thức để chứng minh khẳng định đã cho.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle{\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\]\[:\displaystyle\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left[ {{1 \over x} + 1} \right]} \right]\]
Biểu thức \[\displaystyle{\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\] xác định khi \[x \ne 0\]
Biểu thức \[\displaystyle{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left[ {{1 \over x} + 1} \right]\] xác định khi \[x \ne 0\] và \[x + 1 \ne 0\] hay xác định khi \[x \ne 0\] và \[x \ne - 1\]
Vậy với điều kiện \[x \ne 0\] và \[x \ne -1\]
Ta có : \[\displaystyle{\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\]\[:\displaystyle\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left[ {{1 \over x} + 1} \right]} \right]\]
\[\displaystyle = {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\]\[:\displaystyle\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right] \]\[\displaystyle = {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right]\]\[\displaystyle = {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}} \]\[\displaystyle = {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}:{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \over {{x^2}}}\]\[\displaystyle = {{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = 1 \]
Vậy giá trị của biểu thức \[\displaystyle {\left[ {{{x + 1} \over x}} \right]^2}\]\[:\displaystyle\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left[ {{1 \over x} + 1} \right]} \right]\] bằng \[1\] với mọi giá trị \[x 0\] và \[x -1\]
LG b
Giá trị của biểu thức \[\displaystyle{x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle\left[ {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right]\] bằng \[1\] khi \[x \ne 0,\]\[x \ne - 3,\]\[x \ne 3,\]\[x \ne - {3 \over 2}\]
Phương pháp giải:
Thực hiện các phép tính với phân thức để chứng minh khẳng định đã cho.
Lời giải chi tiết:
Biểu thức : \[\displaystyle{x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle\left[ {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right]\] xác định khi \[x - 3 \ne 0,\] \[2x + 3 \ne 0,\] \[{x^2} - 3x \ne 0\] và \[{x^2} - 9 \ne 0\] hay \[x \ne 3;\]\[x \ne\displaystyle - {3 \over 2};\] \[x \ne 0;\] \[x \ne 3\] và \[x \ne \pm 3\]
Vậy điều kiện \[x \ne 0,\] \[x \ne 3,\] \[x \ne - 3\] và \[x \ne\displaystyle - {3 \over 2}\]
Ta có: \[\displaystyle{x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle\left[ {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right]\]
\[\displaystyle = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle\left[ {{{x + 3} \over {x\left[ {x - 3} \right]}} - {x \over {\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}} \right] \]\[\displaystyle = {x \over {x - 3}} - {{x\left[ {x + 3} \right]} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle{{{{\left[ {x + 3} \right]}^2} - {x^2}} \over {x\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} \]\[\displaystyle = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 6x + 9 - {x^2}} \over {\left[ {2x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}\]\[\displaystyle = {x \over {x - 3}} - {{3\left[ {2x + 3} \right]} \over {\left[ {2x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} \]\[\displaystyle = {x \over {x - 3}} - {3 \over {x - 3}} = {{x - 3} \over {x - 3}} = 1 \]
Vậy giá trị của biểu thức \[\displaystyle{x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}\]\[.\displaystyle\left[ {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right]\] bằng \[1\] khi \[x \ne 0,\]\[x \ne - 3,\]\[x \ne 3,\]\[x \ne - {3 \over 2}\]