Đề bài
Cho hình hộp \[ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] với M là trung điểm của CD.
a] Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng [MAA1] và [BDD1B1].
b] Dựng đường thẳng qua M cắt BD1và AA1.
c] Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của với BD1và AA1. Tính tỉ số \[{{MP} \over {MQ}}\].
d] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp[B,].
Lời giải chi tiết
a] Gọi I là giao điểm của AM và BD, M1là trung điểm cuae C1D1, I1là giao điểm của A1M1với B1D1. Dễ thấy II1chính là giao tuyến của hai mặt phẳng [MAA1] và [BDD1B1].
b] Giả sử đường thẳng cần tìm cắt BD1và AA1lần lượt tại P và Q. Khi đó P chính là giao điểm của BD1với mp[MAA1]. Vậy P là giao điểm của BD1và II1. Từ đó, suy ra cách dựng đường thẳng như sau:
- Lấy giao điểm P của BD1và II1.
- Vẽ đường thẳng MP.
Khi đó, đường thẳng MP chính là đường thẳng cần tìm.
c] Ta có \[DM//AB \Rightarrow {{IM} \over {IA}} = {{M{\rm{D}}} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{IM} \over {IA}} = {1 \over 2}\]
và \[IP//AQ \Rightarrow {{MP} \over {PQ}} = {{MI} \over {IA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{MP} \over {PQ}} = {1 \over 2}\]
Suy ra \[{{MP} \over {MP + PQ}} = {1 \over {2 + 1}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{MP} \over {MQ}} = {1 \over 3}.\]
d] Nối B với Q cắt A1B1tại E. Từ E kẻ EF // B1M1cắt A1D1tại F. Gọi J là giao điểm của EF với C1D1. Nối J với M cắt DD1tại K.
Vậy thiết diện là ngũ giác BEFKM.