Đề bài
Cho đường tròn \[[O; 2cm],\] các tiếp tuyến \[AB\] và \[AC\] kẻ từ \[A\] đến đường tròn vuông góc với nhau tại \[A\] \[[B\] và \[C\] là các tiếp điểm\[].\]
\[a]\] Tứ giác \[ABOC\] là hình gì\[?\] Vì sao\[?\]
\[b]\] Gọi \[M\] là điểm bất kì thuộc cung nhỏ \[BC.\] Qua \[M\] kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \[AB\] và \[AC\] theo thứ tự tại \[D\] và \[E.\] Tính chu vi tam giác \[ADE.\]
\[c]\] Tính số đo góc \[DOE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
\[*\]] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\[*\]] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
\[*\]] Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+] Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+] Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+] Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
\[*\]] Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Ta có: \[AB AC \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \]
\[AB BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \]
\[ AC CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]
Tứ giác \[ABOC\] có \[3\] góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Mặt khác: \[AB = AC\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Suy ra tứ giác \[ABOC\] là hình vuông.
\[b]\] Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[ DB = DM\]
\[ EM = EC\]
Chu vi của tam giác \[ADE\] bằng:
\[AD + DE + EA \]\[= AD + DM + ME + EA\]
\[ = AD + DB + AE + EC\]
\[ = AB + AC = 2AB\]
Mà tứ giác \[ABOC\] là hình vuông [chứng minh trên] nên:
\[AB = OB = 2 [cm]\]
Vậy chu vi của tam giác \[ADE\] bằng: \[2.2 = 4 [cm]\]
\[c]\] Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
+ \[OD\] là tia phân giác của góc \[BOM\]
Suy ra: \[\widehat {BOD} = \widehat {DOM} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOM}\]
+ \[ OE\] là tia phân giác của góc \[COM\]
Suy ra: \[\widehat {COE} = \widehat {EOM} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat {COM}\]
Suy ra:
\[\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM} \]
\[= \displaystyle{1 \over 2}[\widehat {BOM} + \widehat {COM}]\]
\[= \displaystyle{1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}.90^\circ = 45^\circ \].